Seja
um vetor aleatório bidimensional com função de distribuição conjunta,
onde
© Determine a curva de regressão de
sob
© Determine a curva de regressão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um vetor aleatório bidimensional
com uma função de distribuição conjunta específica. A gente precisa determinar a curva de regressão de
em relação a
, ou seja, encontrar a expectativa de
dado um valor de
, representado por
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de funções de distribuição conjunta, densidades de probabilidade conjuntas e condicionais, além de integrais para calcular expectativas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função densidade de probabilidade conjunta
. Sabemos que a função de distribuição conjunta
é dada. Para obter a densidade, precisamos derivar
em relação a
e
.
A função dada é:
Então, a densidade conjunta é:
Vamos derivar passo a passo.
Passo 3
Derivando primeiro em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Então, a densidade conjunta fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a função densidade marginal de
, ou seja,
. Para isso, integramos a densidade conjunta
em relação a
:
Vamos simplificar a integral.
Passo 5
Vamos reescrever o expoente:
Então, a integral fica:
Essa é uma integral da forma
, onde
.
Passo 6
Calculando a integral:
Portanto, a densidade marginal de
é:
Passo 7
Agora, queremos a função densidade condicional de
dado
, que é dada por:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 8
Agora que temos
, vamos calcular a expectativa condicional
. Isso é feito integrando
vezes a densidade condicional:
Passo 9
Reconhecemos que a integral é a expectativa de uma variável exponencial com parâmetro
. Sabemos que:
Onde
. Então:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da expectativa:
Resposta
A curva de regressão de
sob
é: