Seja (X, Y) um vetor aleatório bidimensional com função de distribuição conjunta,
FX, Y(x, y)= 1-e^-x-e^-y+e^-(x+y+de0, y>0 0, & cc
onde de0
© Determine a curva de regressão de Y sob X

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um vetor aleatório bidimensional (X, Y) com uma função de distribuição conjunta específica. A gente precisa determinar a curva de regressão de Y em relação a X, ou seja, encontrar a expectativa de Y dado um valor de X, representado por E[Y|X=x]. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de funções de distribuição conjunta, densidades de probabilidade conjuntas e condicionais, além de integrais para calcular expectativas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função densidade de probabilidade conjunta fX,Y(x,y). Sabemos que a função de distribuição conjunta FX,Y(x,y) é dada. Para obter a densidade, precisamos derivar FX,Y(x,y) em relação a x e y.
A função dada é:
FX, Y(x, y) = 1 - e^-x - e^-y + e^-(x + y + de 0, y > 0 0, & caso contrário á
Então, a densidade conjunta é:
fX,Y(x,y) = partial^2 FX,Y(x,y)partial x partial y
Vamos derivar passo a passo.

Passo 3

Derivando primeiro em relação a x:
partial FX,Y(x,y)partial x = e^-x - e^-(x + y + de
Agora, derivamos essa expressão em relação a y:
fX,Y(x,y) = partial^2 FX,Y(x,y)partial x partial y = e^-(x + y + de
Então, a densidade conjunta fica:
fX,Y(x,y) = de 0, y > 0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a função densidade marginal de X, ou seja, fX(x). Para isso, integramos a densidade conjunta fX,Y(x,y) em relação a y:
fX(x) = integral0^infty fX,Y(x,y) , dy = integral0^infty de
Vamos simplificar a integral.

Passo 5

Vamos reescrever o expoente:
-(x + y + de
Então, a integral fica:
fX(x) = de
Essa é uma integral da forma integral0^infty e^-a y , dy = 1a, onde a = 1 + de.

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^infty e^-y(1 + de
Portanto, a densidade marginal de X é:
fX(x) = de 0

Passo 7

Agora, queremos a função densidade condicional de Y dado X = x, que é dada por:
fY|X(y|x) = fX,Y(x,y)fX(x)
Substituindo as expressões que encontramos:
fY|X(y|x) = de

Passo 8

Agora que temos fY|X(y|x), vamos calcular a expectativa condicional E[Y|X=x]. Isso é feito integrando y vezes a densidade condicional:
E[Y|X=x] = integral0^infty y fY|X(y|x) , dy = (1 + de

Passo 9

Reconhecemos que a integral é a expectativa de uma variável exponencial com parâmetro 1 + de. Sabemos que:
integral0^infty y e^-a y , dy = 1a^2
Onde a = 1 + de. Então:
integral0^infty y e^-y(1 + de

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da expectativa:
E[Y|X=x] = (1 + de

Resposta

A curva de regressão de Y sob X é:
E[Y|X=x] = 11 + de

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