Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, tais que
.
(b) Determine a f.g.m da v.a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias independentes:
que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
, e
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A variável
é definida por
.
Nosso objetivo é determinar a função geradora de momentos (f.g.m.) da variável aleatória
. Para isso, precisamos lembrar o que é uma f.g.m. e como ela é calculada para combinações de variáveis aleatórias.
Passo 2
A função geradora de momentos (f.g.m.) de uma variável aleatória
é definida como
, onde
representa o valor esperado. A f.g.m. é útil porque nos ajuda a encontrar momentos (como média e variância) e também pode ser usada para identificar a distribuição da variável aleatória.
No nosso caso, queremos encontrar
, onde
.
Passo 3
Vamos reescrever
de uma forma que facilite o cálculo da f.g.m.:
Assim, temos:
Como
e
são independentes, podemos separar o valor esperado:
Passo 4
Vamos primeiro calcular
. Sabemos que
segue uma distribuição Exponencial com parâmetro
, então sua f.g.m. é:
Aqui,
. Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão para
:
Para calcular esse valor esperado, precisamos considerar a distribuição de
, que é Poisson com parâmetro
. A função de massa de probabilidade da Poisson é:
Passo 6
Portanto, podemos escrever o valor esperado como uma soma:
Essa expressão pode ser complicada para simplificar diretamente, então vamos procurar uma abordagem alternativa.
Passo 7
Observe que podemos reescrever
como:
Dado que
é Poisson,
representa uma transformação linear de
. No entanto, para simplificar, vamos considerar a propriedade da independência de
e
e usar a f.g.m. condicional.
Sabemos que:
Passo 8
Para simplificar
, vamos considerar a expansão em série:
Usando a expansão da série geométrica
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para
:
Aqui,
representa o n-ésimo momento de
, que para a Poisson é conhecido.
Passo 10
Os momentos da variável Poisson
são dados por:
Isso nos leva a uma expressão complexa, indicando que a f.g.m. de
pode não ter uma forma fechada simples.
Resposta
Portanto, a função geradora de momentos da variável aleatória
é dada por:
Essa expressão representa a f.g.m. de
em termos das somas envolvendo a distribuição de Poisson de
.