Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, tais que X sim Exponencial(alpha), Y sim Poison(lambda).
U=2 X Y+X
(b) Determine a f.g.m da v.a U.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias independentes: que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , e que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . A variável é definida por .
Nosso objetivo é determinar a função geradora de momentos (f.g.m.) da variável aleatória . Para isso, precisamos lembrar o que é uma f.g.m. e como ela é calculada para combinações de variáveis aleatórias.

Passo 2

A função geradora de momentos (f.g.m.) de uma variável aleatória é definida como , onde representa o valor esperado. A f.g.m. é útil porque nos ajuda a encontrar momentos (como média e variância) e também pode ser usada para identificar a distribuição da variável aleatória.
No nosso caso, queremos encontrar , onde .

Passo 3

Vamos reescrever U = 2XY + X = X(2Y + 1) de uma forma que facilite o cálculo da f.g.m.:
MU(t) = E[e^tX(2Y + 1)]
Assim, temos:
MU(t) = EY[EX[e^tX(2Y + 1) mid Y]]
Como e são independentes, podemos separar o valor esperado:

Passo 4

Vamos primeiro calcular MX(s) = alphaalpha - s, para s < alpha . Sabemos que EX[e^tX(2Y + 1) mid Y] = alphaalpha - t(2Y + 1), para t(2Y + 1) < alpha segue uma distribuição Exponencial com parâmetro , então sua f.g.m. é:
Aqui, . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão para MU(t) = EY[alphaalpha - t(2Y + 1)] :
P(Y = k) = e^-lambda lambda^kk!, k = 0, 1, 2, dots
Para calcular esse valor esperado, precisamos considerar a distribuição de , que é Poisson com parâmetro . A função de massa de probabilidade da Poisson é:

Passo 6

Portanto, podemos escrever o valor esperado como uma soma:
MU(t) = sumk=0^infty alphaalpha - t(2k + 1) cdot e^-lambda lambda^kk!
Essa expressão pode ser complicada para simplificar diretamente, então vamos procurar uma abordagem alternativa.

Passo 7

Observe que podemos reescrever U = X(2Y + 1) como:
MU(t) = EY[EX[e^tX(2Y + 1) mid Y]] = EY[alphaalpha - t(2Y + 1)]
Dado que é Poisson, representa uma transformação linear de . No entanto, para simplificar, vamos considerar a propriedade da independência de e e usar a f.g.m. condicional.
Sabemos que:

Passo 8

Para simplificar alphaalpha - t(2Y + 1) = alphaalpha - t cdot 11 - 2tYalpha - t , vamos considerar a expansão em série:
11 - 2tYalpha - t = sumn=0^infty (2tYalpha - t)^n
Usando a expansão da série geométrica , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para MU(t) = alphaalpha - t sumn=0^infty (2talpha - t)^n E[Y^n] :
Aqui, representa o n-ésimo momento de , que para a Poisson é conhecido.

Passo 10

Os momentos da variável Poisson E[Y^n] = sumk=0^infty k^n e^-lambda lambda^kk! são dados por:
Isso nos leva a uma expressão complexa, indicando que a f.g.m. de pode não ter uma forma fechada simples.

Resposta

Portanto, a função geradora de momentos da variável aleatória MU(t) = sumk=0^infty alphaalpha - t(2k + 1) cdot e^-lambda lambda^kk! é dada por:
Essa expressão representa a f.g.m. de em termos das somas envolvendo a distribuição de Poisson de .

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