Um professor da disciplina de Estatística e Probabilidade, notou que as notas de duas provas têm distribuição normal bivariada, com parâmetros
e
.
(a) Se um aluno da sala recebe uma nota de 6, qual é a probabilidade de que ele se saia melhor na segunda prova?
(a) Se um aluno da sala recebe uma nota de 6, qual é a probabilidade de que ele se saia melhor na segunda prova?
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos diz que as notas de duas provas seguem uma distribuição normal bivariada com médias
e
, variâncias
e
, e uma correlação
. Precisamos encontrar a probabilidade de um aluno que tirou nota 6 na primeira prova se sair melhor na segunda prova. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à distribuição condicional em distribuições bivariadas.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com duas variáveis que têm uma distribuição normal conjunta, podemos usar a propriedade da distribuição normal condicional. Isso significa que, dado que a primeira variável tem um valor específico, a segunda variável também seguirá uma distribuição normal, mas com parâmetros ajustados.
Passo 3
Vamos identificar os parâmetros que precisamos para a distribuição condicional. Temos:
- Média da primeira prova,
- Média da segunda prova,
- Variância da primeira prova,
- Variância da segunda prova,
- Correlação entre as provas,
Passo 4
A fórmula para a média condicional da segunda prova, dado que a primeira prova é 6, é:
E a variância condicional é:
Passo 5
Vamos calcular
substituindo os valores:
Primeiro, calculemos as raízes quadradas:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância condicional
:
E o desvio padrão condicional:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de que a segunda prova seja maior que 6, dado que a primeira prova foi 6. Como a distribuição condicional de
é normal com média 7,34 e desvio padrão 0,24, podemos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Primeiro, calculamos o valor
:
Passo 8
Usando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de
ser maior que -5,58 é praticamente 1 (já que -5,58 está muito à esquerda na curva normal).
Portanto,
.
Resposta
A probabilidade de que o aluno se saia melhor na segunda prova, dado que tirou 6 na primeira, é aproximadamente 1 ou 100%.