Um professor da disciplina de Estatística e Probabilidade, notou que as notas de duas provas têm distribuição normal bivariada, com parâmetros mu1=7,5, mu2=8,3, sigma1^2=0,25, sigma2^2=0,16 e rho=0,8.
(a) Se um aluno da sala recebe uma nota de 6, qual é a probabilidade de que ele se saia melhor na segunda prova?

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos diz que as notas de duas provas seguem uma distribuição normal bivariada com médias mu1=7,5 e mu2=8,3, variâncias sigma1^2=0,25 e sigma2^2=0,16, e uma correlação rho=0,8. Precisamos encontrar a probabilidade de um aluno que tirou nota 6 na primeira prova se sair melhor na segunda prova. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à distribuição condicional em distribuições bivariadas.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com duas variáveis que têm uma distribuição normal conjunta, podemos usar a propriedade da distribuição normal condicional. Isso significa que, dado que a primeira variável tem um valor específico, a segunda variável também seguirá uma distribuição normal, mas com parâmetros ajustados.

Passo 3

Vamos identificar os parâmetros que precisamos para a distribuição condicional. Temos:
  • Média da primeira prova, mu1=7,5
  • Média da segunda prova, mu2=8,3
  • Variância da primeira prova, sigma1^2=0,25
  • Variância da segunda prova, sigma2^2=0,16
  • Correlação entre as provas, rho=0,8

Passo 4

A fórmula para a média condicional da segunda prova, dado que a primeira prova é 6, é:
mu2|1 = mu2 + rho (sigma2sigma1) (X1 - mu1)
E a variância condicional é:
sigma2|1^2 = sigma2^2 (1 - rho^2)

Passo 5

Vamos calcular mu2|1 substituindo os valores:
mu2|1 = 8,3 + 0,8 (raiz0,16raiz0,25) (6 - 7,5)
Primeiro, calculemos as raízes quadradas:
sigma1 = raiz0,25 = 0,5 sigma2 = raiz0,16 = 0,4
Então:
mu2|1 = 8,3 + 0,8 (0,40,5) (-1,5) mu2|1 = 8,3 + 0,8 times 0,8 times (-1,5) mu2|1 = 8,3 - 0,96 mu2|1 = 7,34

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância condicional sigma2|1^2:
sigma2|1^2 = 0,16 times (1 - 0,8^2) sigma2|1^2 = 0,16 times (1 - 0,64) sigma2|1^2 = 0,16 times 0,36 sigma2|1^2 = 0,0576
E o desvio padrão condicional:
sigma2|1 = raiz0,0576 = 0,24

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de que a segunda prova seja maior que 6, dado que a primeira prova foi 6. Como a distribuição condicional de X2 é normal com média 7,34 e desvio padrão 0,24, podemos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Primeiro, calculamos o valor Z:
Z = 6 - 7,340,24 = -1,340,24 approx -5,58

Passo 8

Usando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que a probabilidade de Z ser maior que -5,58 é praticamente 1 (já que -5,58 está muito à esquerda na curva normal).
Portanto, P(X2 > 6 | X1 = 6) approx 1.

Resposta

A probabilidade de que o aluno se saia melhor na segunda prova, dado que tirou 6 na primeira, é aproximadamente 1 ou 100%.

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