Sejam X1, ldots, Xn. variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância Sigma da variável aleatória n- dimensional (X1, ldots, Xn) da seguinte forma
Sigma=(cclc COV(X1, X1) & COV(X1, X1) & , ldots, & COV(X1, Xn) COV(X1, X2) & COV(X2, X2) & , ldots, & COV(X2, Xn) vdots & vdots & , cdots, & vdots COV(Xn, X1) & COV(Xn, X2) & , ldots, & COV(Xn, Xn) )
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Sigma=(cccc 16 & -3 & 2 & 1 -3 & 25 & 2 & 0 2 & 2 & 100 & 2 1 & 0 & 2 & 400 )
Determine: (b) Que pares de variáveis apresentam maior coeficiente correlação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício dá uma matriz de variância-covariância para 4 variáveis aleatórias $ X_1, X_2, X_3, X_4 $. A gente precisa descobrir quais pares dessas variáveis têm o maior coeficiente de correlação. Para isso, vamos usar a definição de coeficiente de correlação, que nos ajuda a entender como duas variáveis estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do coeficiente de correlação entre duas variáveis $ X $ e $ Y $:
X
Aqui, Y é a covariância entre $ X $ e $ Y $, e rhoXY = COV(X,Y)raizVar(X) times Var(Y) e COV(X,Y) são as variâncias de $ X $ e $ Y $, respectivamente.

Passo 3

Vamos identificar as variâncias e covariâncias da matriz fornecida:
Sigma = 16 & -3 & 2 & 1 -3 & 25 & 2 & 0 2 & 2 & 100 & 2 1 & 0 & 2 & 400
  • Variâncias:
    • $ Var(X_1) = 16 $
    • $ Var(X_2) = 25 $
    • $ Var(X_3) = 100 $
    • $ Var(X_4) = 400 $
  • Covariâncias:
    • $ COV(X_1, X_2) = -3 $
    • $ COV(X_1, X_3) = 2 $
    • $ COV(X_1, X_4) = 1 $
    • $ COV(X_2, X_3) = 2 $
    • $ COV(X_2, X_4) = 0 $
    • $ COV(X_3, X_4) = 2 $

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação para cada par de variáveis usando a fórmula que mencionamos:
  1. $ \rho_{12} $:
rho12
  1. $ \rho_{13} $:
rho12 = -3raiz16 times 25 = -320 = -0,15
  1. $ \rho_{14} $:
rho13
  1. $ \rho_{23} $:
rho13 = 2raiz16 times 100 = 240 = 0,05
  1. $ \rho_{24} $:
rho14
  1. $ \rho_{34} $:
rho14 = 1raiz16 times 400 = 180 = 0,0125

Passo 5

Vamos comparar os coeficientes de correlação obtidos:
  • $ \rho_{12} = -0{,}15 $
  • $ \rho_{13} = 0{,}05 $
  • $ \rho_{14} = 0{,}0125 $
  • $ \rho_{23} = 0{,}04 $
  • $ \rho_{24} = 0 $
  • $ \rho_{34} = 0{,}01 $
O maior valor em módulo (ignorando o sinal) é $ 0{,}15 $ de $ \rho_{12} $.

Resposta

Os pares de variáveis que apresentam o maior coeficiente de correlação são $ X_1 $ e $ X_2 $, com $ \rho_{12} = -0{,}15 $.

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