Sejam . variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância da variável aleatória dimensional da seguinte forma
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Determine: (b) Que pares de variáveis apresentam maior coeficiente correlação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício dá uma matriz de variância-covariância para 4 variáveis aleatórias $ X_1, X_2, X_3, X_4 $. A gente precisa descobrir quais pares dessas variáveis têm o maior coeficiente de correlação. Para isso, vamos usar a definição de coeficiente de correlação, que nos ajuda a entender como duas variáveis estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do coeficiente de correlação entre duas variáveis $ X $ e $ Y $:
X
Aqui, Y é a covariância entre $ X $ e $ Y $, e rhoXY = COV(X,Y)raizVar(X) times Var(Y) e COV(X,Y) são as variâncias de $ X $ e $ Y $, respectivamente.
Passo 3
Vamos identificar as variâncias e covariâncias da matriz fornecida: