Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
ll4 & -5 2 & -3

Passo 1

No enunciado temos a matriz 2×2 A=4 & -52 & -3 e queremos achar autovalores e autovetores. O conteúdo usado será a definição de polinômio característico, isto é, montar det(A-lambda I)=0 para obter os valores de lambda, e depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada lambda.

Passo 2

O polinômio característico vem de det(A-lambda I)=0. Calculando:
det4-lambda & -52 & -3-lambda =(4-lambda)(-3-lambda)-(-5)cdot2 =lambda^2-lambda-2

Passo 3

Igualando a zero, temos lambda^2-lambda-2=0. É uma equação quadrática que resolve por fórmula de Bhaskara:
lambda=1pmraiz1+82=1pm32
Logo os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-1.

Passo 4

Para encontrar o autovetor de lambda1=2, montamos o sistema (A-2I)x=0:
A-2I=4-2 & -52 & -3-2=2 & -52 & -5
Isso gera a equação 2x-5y=0, ou seja, x=tfrac52y. Escolhendo y=2, um autovetor é v1=52.

Passo 5

Para lambda2=-1, fazemos (A+I)x=0:
A-(-1)I=4+1 & -52 & -3+1=5 & -52 & -2
Isso dá 5x-5y=0 ou x=y. Tomando y=1, um autovetor é v2=11.

Resposta

Os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-1. Vetores próprios associados: para lambda1=2, por exemplo v1=52; para lambda2=-1, v2=11.

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