Um bastão de comprimento 2 L , uniformemente carregado com uma densidade de carga
, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio
.
Para ângulo central
(anel):
calcule integrando diretamente o potencial elétrico também no centro.
Para ângulo central
calcule integrando diretamente o potencial elétrico também no centro.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um bastão com comprimento total de
, que tá todo carregado de forma uniforme com uma densidade de carga
. Esse bastão foi curvado para formar um arco de circunferência com raio
, e o ângulo central desse arco é
, ou seja, ele forma um anel completo. A missão é calcular o potencial elétrico no centro desse anel, fazendo a integração direta. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente o cálculo de potencial elétrico devido a distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico (
) em um ponto devido a uma carga é uma medida da energia potencial que uma carga de teste teria nesse ponto. Para uma carga pontual
, o potencial no ponto
(no nosso caso, o centro do anel) é dado por:
Onde:
-
é o potencial elétrico gerado pela carga . -
é a permissividade do vácuo. -
é a distância entre a carga e o ponto .
Passo 3
No nosso caso,
é sempre igual a
, já que todas as cargas estão distribuídas igualmente ao redor do centro do anel. Agora, precisamos expressar a carga diferencial
em termos da densidade de carga
e de um elemento diferencial de comprimento
:
Passo 4
Vamos agora expressar o elemento de comprimento
em termos do ângulo diferencial
. Como o arco forma um círculo completo de ângulo
, cada elemento de comprimento pode ser descrito por:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 6
Agora, substituindo
e
na expressão do potencial diferencial
:
Passo 7
Para encontrar o potencial total
no centro, vamos integrar
ao longo de todo o ângulo do círculo, que vai de
a
:
Passo 8
Essa integral é simples, já que
é uma constante em relação a
:
Resposta
O potencial elétrico no centro do anel é $ V = \dfrac{\lambda}{2,\varepsilon_0} $.