Um bastão de comprimento 2 L , uniformemente carregado com uma densidade de carga lambda, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio R.
Para ângulo central =2 pi (anel):
calcule integrando diretamente o potencial elétrico também no centro.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um bastão com comprimento total de 2L, que tá todo carregado de forma uniforme com uma densidade de carga lambda. Esse bastão foi curvado para formar um arco de circunferência com raio R, e o ângulo central desse arco é 2pi, ou seja, ele forma um anel completo. A missão é calcular o potencial elétrico no centro desse anel, fazendo a integração direta. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente o cálculo de potencial elétrico devido a distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico ( V) em um ponto devido a uma carga é uma medida da energia potencial que uma carga de teste teria nesse ponto. Para uma carga pontual dq, o potencial no ponto P (no nosso caso, o centro do anel) é dado por:
dV = 14pivarepsilon0 cdot dqr
Onde:
  • dV é o potencial elétrico gerado pela carga dq.
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
  • r é a distância entre a carga dq e o ponto P.

Passo 3

No nosso caso, r é sempre igual a R, já que todas as cargas estão distribuídas igualmente ao redor do centro do anel. Agora, precisamos expressar a carga diferencial dq em termos da densidade de carga lambda e de um elemento diferencial de comprimento dl:
dq = lambda , dl

Passo 4

Vamos agora expressar o elemento de comprimento dl em termos do ângulo diferencial dtheta. Como o arco forma um círculo completo de ângulo 2pi, cada elemento de comprimento pode ser descrito por:
dl = R , dtheta

Passo 5

Substituindo dl na expressão de dq, temos:
dq = lambda cdot R , dtheta

Passo 6

Agora, substituindo dq e r = R na expressão do potencial diferencial dV:
dV = 14pivarepsilon0 cdot lambda R , dthetaR = lambda4pivarepsilon0 , dtheta

Passo 7

Para encontrar o potencial total V no centro, vamos integrar dV ao longo de todo o ângulo do círculo, que vai de 0 a 2pi:
V = integral0^2pi lambda4pivarepsilon0 , dtheta

Passo 8

Essa integral é simples, já que lambda4pivarepsilon0 é uma constante em relação a theta:
V = lambda4pivarepsilon0 cdot integral0^2pi dtheta = lambda4pivarepsilon0 cdot 2pi = lambda2varepsilon0

Resposta

O potencial elétrico no centro do anel é $ V = \dfrac{\lambda}{2,\varepsilon_0} $.

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