Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento 2L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas lambda.
calcule o potencial em um ponto P situado sobre a reta definida pelo bastão, a uma distancia Y de uma das extremidades.

Passo 1

Vamos lá! Temos um bastão com comprimento total de 2L e uma densidade linear de carga lambda, ou seja, a carga está distribuída de forma uniforme ao longo do bastão. Queremos calcular o potencial elétrico em um ponto P que está situado ao longo da mesma linha do bastão, a uma distância Y de uma das extremidades. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial de uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que o bastão está estendido ao longo do eixo x, indo de x = 0 até x = 2L. O ponto P está localizado na distância Y a partir de x = 0. Para facilitar a conta, vamos dividir o bastão em pequenos pedaços de comprimento diferencial dx. Cada pedaço vai ter uma carga diferencial dq = lambda , dx.

Passo 3

O potencial elétrico diferencial dV devido a cada pequeno pedaço de carga dq no ponto P é dado por:
dV = 14pi varepsilon0 cdot dqr
Aqui, r é a distância entre o pedaço de carga dq e o ponto P. Como P está a uma distância Y de x = 0, e o pedaço de carga está a uma posição x ao longo do bastão, temos:
r = Y + x
Então, substituindo dq e r:
dV = 14pi varepsilon0 cdot lambda , dxY + x

Passo 4

Para encontrar o potencial total V no ponto P, precisamos somar todos os pequenos potenciais dV ao longo de todo o bastão, ou seja, integrar de x = 0 até x = 2L:
V = lambda4pi varepsilon0 integral0^2L dxY + x

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de 1Y + x em relação a x é o logaritmo natural:
integral dxY + x = ln(Y + x) + C
Aplicando os limites de integração:
V = lambda4pi varepsilon0 [ ln(Y + 2L) - ln(Y) ]

Passo 6

Podemos simplificar a diferença de logaritmos usando propriedades dos logaritmos:
ln(Y + 2L) - ln(Y) = ln(Y + 2LY)
Então, o potencial fica:
V = lambda4pi varepsilon0 ln(Y + 2LY)

Resposta

O potencial elétrico no ponto P é:
V = lambda4pi varepsilon0 ln(1 + 2LY)

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