Um cilindro de diâmetro 1,0 cm a 30^circ C deve passar por um orifício feito em uma placa de aço cujo diâmetro mede 0,99970 cm a 30^circ C. A que temperatura a placa deve ser aquecida? (a aço =1,2 times 10^-5 ^circ C^-1)ç

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a dilatação térmica, que é quando materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. No caso, temos um cilindro com diâmetro de 1,0 cm a 30^circ C e uma placa de aço com um orifício de 0,99970 cm na mesma temperatura. A pergunta é: a que temperatura a placa precisa ser aquecida para que o cilindro passe facilmente pelo orifício? Para resolver isso, vamos usar a fórmula da dilatação linear, que nos ajuda a calcular como o diâmetro da placa muda com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da dilatação linear. Ela é dada por:
D = D0 (1 + alpha De
Onde:
  • D é o diâmetro final após a dilatação.
  • D0 é o diâmetro inicial.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear do material.
  • De é a variação de temperatura ( Tfinal - Tinicial).
No nosso caso, queremos que o diâmetro do orifício na placa ( D) seja pelo menos igual ao diâmetro do cilindro ( 1,0 cm) para que ele passe. Então, vamos igualar D a 1,0 cm e resolver para a temperatura final.

Passo 3

Vamos atribuir os valores que temos:
  • Diâmetro inicial da placa, D0 = 0,99970 cm
  • Temperatura inicial, T0 = 30^circ C
  • Coeficiente de dilatação do aço, alpha = 1,2 times 10^-5 °C^-1
  • Diâmetro final desejado, D = 1,0 cm
Substituindo na fórmula:
1,0 = 0,99970 (1 + 1,2 times 10^-5 times (T - 30))

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para encontrar T:
  1. Dividimos os dois lados por 0,99970:
1,00,99970 = 1 + 1,2 times 10^-5 times (T - 30)
  1. Calculando o lado esquerdo:
1,0003 = 1 + 1,2 times 10^-5 times (T - 30)
  1. Subtraímos 1 de ambos os lados:
0,0003 = 1,2 times 10^-5 times (T - 30)
  1. Isolamos (T - 30):
T - 30 = 0,00031,2 times 10^-5 approx 25
  1. Finalmente, adicionamos 30 a ambos os lados:
T = 25 + 30 = 55^circ C

Resposta

A placa deve ser aquecida a 55^circ C para que o cilindro passe pelo orifício.

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