Um disco de raio
e massa desprezível gira em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro. No instante
, sua velocidade angular é
. Um torque constante é aplicado ao disco, resultando em uma aceleração angular
. (Resolva de forma literal, em termos das variáveis dadas).
Se um ponto na borda do disco tem velocidade linear inicial v0 e o disco percorre N revoluções até parar, determine o deslocamento linear total percorrido por esse ponto.
Se um ponto na borda do disco tem velocidade linear inicial v0 e o disco percorre N revoluções até parar, determine o deslocamento linear total percorrido por esse ponto.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando com uma velocidade angular inicial
e, de repente, aplicamos um torque que faz com que ele desacelere com uma aceleração angular constante
. Queremos descobrir quanto um ponto na borda desse disco vai percorrer linearmente até ele parar, após dar
voltas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular, e o relacionamento entre movimento angular e linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade linear
de um ponto na borda do disco está relacionada à velocidade angular
pela fórmula:
Onde
é o raio do disco. Isso nos mostra como a rotação se traduz em movimento linear.
Passo 3
Sabemos que o disco está desacelerando até parar. Isso significa que sua velocidade angular final
é zero. Podemos usar a equação da cinemática angular que relaciona velocidade inicial, velocidade final, aceleração angular e deslocamento angular (
):
Como
, a equação fica:
Passo 4
Vamos resolver para
:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está oposta à velocidade inicial, ou seja, está desacelerando o disco.
Passo 5
A questão nos diz que o disco faz
revoluções antes de parar. Sabemos que uma revolução completa corresponde a
radianos. Então, o deslocamento angular total
em radianos é:
Passo 6
Vamos igualar as duas expressões para
:
Aqui, vamos considerar o módulo das quantidades, já que estamos interessados na magnitude do deslocamento.
Então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Passo 8
Sabemos que a velocidade inicial linear
está relacionada à velocidade angular inicial
por:
Vamos usar isso para expressar
:
Passo 9
Substituindo
na expressão da
:
Passo 10
Agora, queremos encontrar o deslocamento linear total percorrido pelo ponto na borda do disco até parar. Como o disco faz
revoluções, e cada revolução percorre um caminho de comprimento igual à circunferência do disco, que é
, o deslocamento linear total
é:
Resposta
O deslocamento linear total percorrido pelo ponto na borda do disco até parar é: