Um disco de raio R e massa desprezível gira em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro. No instante t=0, sua velocidade angular é omega 0. Um torque constante é aplicado ao disco, resultando em uma aceleração angular alpha. (Resolva de forma literal, em termos das variáveis dadas).
Se um ponto na borda do disco tem velocidade linear inicial v0 e o disco percorre N revoluções até parar, determine o deslocamento linear total percorrido por esse ponto.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um disco que está girando com uma velocidade angular inicial omega0 e, de repente, aplicamos um torque que faz com que ele desacelere com uma aceleração angular constante alpha. Queremos descobrir quanto um ponto na borda desse disco vai percorrer linearmente até ele parar, após dar N voltas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular, aceleração angular, e o relacionamento entre movimento angular e linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade linear v de um ponto na borda do disco está relacionada à velocidade angular omega pela fórmula:
v = omega times R
Onde R é o raio do disco. Isso nos mostra como a rotação se traduz em movimento linear.

Passo 3

Sabemos que o disco está desacelerando até parar. Isso significa que sua velocidade angular final omegaf é zero. Podemos usar a equação da cinemática angular que relaciona velocidade inicial, velocidade final, aceleração angular e deslocamento angular ( theta):
omegaf^2 = omega0^2 + 2 times alpha times theta
Como omegaf = 0, a equação fica:
0 = omega0^2 + 2 times alpha times theta

Passo 4

Vamos resolver para theta:
theta = -omega0^22 times alpha
O sinal negativo indica que a aceleração angular está oposta à velocidade inicial, ou seja, está desacelerando o disco.

Passo 5

A questão nos diz que o disco faz N revoluções antes de parar. Sabemos que uma revolução completa corresponde a 2pi radianos. Então, o deslocamento angular total theta em radianos é:
theta = 2pi times N

Passo 6

Vamos igualar as duas expressões para theta:
2pi times N = -omega0^22 times alpha
Aqui, vamos considerar o módulo das quantidades, já que estamos interessados na magnitude do deslocamento.
Então:
2pi N = omega0^22 alpha

Passo 7

Agora, vamos resolver para alpha:
alpha = omega0^24 pi N

Passo 8

Sabemos que a velocidade inicial linear v0 está relacionada à velocidade angular inicial omega0 por:
v0 = omega0 times R
Vamos usar isso para expressar omega0:
omega0 = v0R

Passo 9

Substituindo omega0 na expressão da alpha:
alpha = (v0R)^24 pi N = v0^24 pi N R^2

Passo 10

Agora, queremos encontrar o deslocamento linear total percorrido pelo ponto na borda do disco até parar. Como o disco faz N revoluções, e cada revolução percorre um caminho de comprimento igual à circunferência do disco, que é 2pi R, o deslocamento linear total S é:
S = 2pi R times N

Resposta

O deslocamento linear total percorrido pelo ponto na borda do disco até parar é:
S = 2pi R times N

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