Uma caneta foi arremessada verticalmente para o alto com uma velocidade de 14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Qual a altura que a caneta atinge?
b) Quanto tempo ela leva para atingir a altura máxima?
c) Esboce os gráficos da trajetória da caneta (y(t)); de velocidade da caneta (v(t)); e da aceleração da caneta ( a(t) ).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
  • Dados:
    • Velocidade inicial da caneta lançada para cima: v_0 = 14\\ \mathrm{m/s}.
    • A caneta é arremessada verticalmente para cima (assume-se que o referencial tem y=0 no ponto de arremesso).
    • A aceleração da gravidade será tomada como g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, atuando para baixo.
  • Perguntas:
    (a) Qual a altura máxima que a caneta atinge (ou seja, o y máximo relativo ao ponto de lançamento)?
    (b) Quanto tempo ela leva para atingir a altura máxima?
    (c) Esboçar os gráficos de y(t), v(t) e a(t).

Passo 2

Relembrando as equações de movimento para movimento vertical com aceleração constante (aqui a aceleração é -g, negativa porque aponta para baixo):
  • Velocidade como função do tempo:
v(t)=v_0 + a\,t,
onde v(t) é a velocidade no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. No nosso caso a=-g=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Posição (altura) como função do tempo, tomando y(0)=0:
y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui y(t) é a altura no tempo t, y_0 é a altura inicial (aqui y_0=0), v_0 é a velocidade inicial e a a aceleração.
  • Relação útil que liga velocidades e deslocamento sem usar o tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a (y-y_0).
Essa última é muito prática para achar a altura máxima porque no topo a velocidade instantânea é v=0.
Explicando de forma bem direta e sem mistério:
  • A equação de v(t) vem de integrar a aceleração constante: \dfrac{dv}{dt}=a => v=v_0+at.
  • A equação de y(t) vem de integrar v(t): \dfrac{dy}{dt}=v(t) => y=y_0+v_0 t+\tfrac12 a t^2.
  • A equação v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y resulta de eliminar t entre as duas anteriores (é útil quando sabemos que v=0 num instante).

Passo 3

Calcular o tempo para atingir a altura máxima (resposta da letra (b)).
No instante de altura máxima a velocidade instantânea é zero: v(t_\text{máx})=0á. Usando v(t)=v_0+at com a=-g:
0 = v_0 - g\,t_{\text{máx}}.á
Isolando t_{\text{máx}}á:
t_{\text{máx}}=\frac{v_0}{g}.á
Substituindo v_0=14 e g=9{,}8:
t_{\text{máx}}=\frac{14}{9{,}8}.á
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 10:
t_{\text{máx}}=\frac{140}{98}=\frac{10}{7}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}43\\ \mathrm{s}.á
Comentário prático: a velocidade cai linearmente com o tempo por causa da aceleração constante; levar 1{,}43 s para anular uma velocidade inicial de 14 m/s faz sentido porque a cada segundo a velocidade diminui cerca de 9{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a altura máxima (resposta da letra (a)).
Usamos a relação que não precisa do tempo, colocando v=0 no topo:
0 = v_0^2 + 2 a (y_{\text{máx}}-y_0).á
Como y_0=0 e a=-g, reorganizamos:
y_{\text{máx}} = -\frac{v_0^2}{2a} = \frac{v_0^2}{2g}.á
Substituindo v_0=14 e g=9{,}8:
y_{\text{máx}} = \frac{14^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{196}{19{,}6} = 10\\ \mathrm{m}.á
Observação intuitiva: com velocidade inicial de 14 m/s, a caneta sobe 10 m antes de parar; os números aqui se simplificaram muito bem (196 dividido por 19{,}6 dá exatamente 10).

Passo 5

Obter explicitamente as funções y(t), v(t) e a(t) e descrever como esboçar os gráficos (resposta da letra (c)).
  1. Funções:
  • Usando y_0=0 e a=-g:
y(t)=14\,t - \tfrac{1}{2}\,9{,}8\,t^2 = 14t - 4{,}9\,t^2.
  • Velocidade:
v(t)=14 - 9{,}8\,t.
  • Aceleração (constante):
a(t)=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  1. Como esboçar cada gráfico (passo a passo, do jeito que você pode desenhar na prova):
  • Gráfico de y(t):
    • É uma parábola em função de t que abre para baixo (coeficiente de t^2 negativo).
    • Intercepto em t=0: y(0)=0.
    • Vértice (ponto mais alto): ocorre em t=\dfrac{v_0}{g}=\dfrac{10}{7}\\ \mathrm{s} e tem altura y_{\text{máx}}=10\\ \mathrm{m}á. Então marque o vértice em \bigl(\tfrac{10}{7},\,10\bigr).
    • A parábola cruza o eixo do tempo novamente no instante em que a caneta volta ao solo; esse tempo total de voo (não pedido, mas útil) é 2t_{\text{máx}}=\dfrac{20}{7}\\ \mathrm{s}\approx 2{,}86\\ \mathrm{s}á.
    • Desenhe uma curva suave subindo desde y=0 com inclinação inicial 14 (a inclinação inicial é a velocidade inicial) até o vértice, depois descendo simetricamente.
  • Gráfico de v(t):
    • É uma reta decrescente com coeficiente angular -9{,}8.
    • Intercepto em t=0: v(0)=14\\ \mathrm{m/s}.
    • Atinge zero em t=\tfrac{10}{7}\\ \mathrm{s} (o mesmo instante do vértice de y(t)).
    • Para tempos maiores que esse a velocidade fica negativa (movimento para baixo).
    • Desenhe uma linha reta que parte em 14 no eixo vertical e cruza o eixo horizontal em t=\tfrac{10}{7}.
  • Gráfico de a(t):
    • É uma linha horizontal constante em a=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Sempre igual a -9{,}8 para todo t, tanto na subida quanto na descida.
    • Em um esboço, desenhe uma linha reta horizontal abaixo do eixo t com valor -9{,}8.
Dica de desenho rápido: primeiro marque os pontos-chave (interceptos e vértice em y(t); intercepto e zero da velocidade em v(t)), depois trace linhas/parábolas ligando esses pontos com a forma indicada.

Passo 6

Resumo final e incentivo rápido: chegamos às respostas com contas curtas e diretas — nada de fórmulas complicadas. Se você decorar as três equações básicas para aceleração constante e lembrar que no topo v=0, resolve a maioria desses problemas em poucos passos. Força: você já entendeu o procedimento e consegue reproduzir na prova!

Resposta

(a) 10\\ \mathrm{m}
(b) \dfrac{10}{7}\\ \mathrm{s}\approx 1{,}43\\ \mathrm{s}
(c) y(t)=14t-4{,}9\,t^{2},\quad v(t)=14-9{,}8\,t,\quad a(t)=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}

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