Uma caneta foi arremessada verticalmente para o alto com uma velocidade de
.
a) Qual a altura que a caneta atinge?
b) Quanto tempo ela leva para atingir a altura máxima?
c) Esboce os gráficos da trajetória da caneta
; de velocidade da caneta
; e da aceleração da caneta (
).
a) Qual a altura que a caneta atinge?
b) Quanto tempo ela leva para atingir a altura máxima?
c) Esboce os gráficos da trajetória da caneta
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
- Dados:
- Velocidade inicial da caneta lançada para cima:
. - A caneta é arremessada verticalmente para cima (assume-se que o referencial tem
no ponto de arremesso). - A aceleração da gravidade será tomada como
, atuando para baixo.
- Velocidade inicial da caneta lançada para cima:
- Perguntas:
(a) Qual a altura máxima que a caneta atinge (ou seja, omáximo relativo ao ponto de lançamento)?
(b) Quanto tempo ela leva para atingir a altura máxima?
(c) Esboçar os gráficos de, e .
Passo 2
Relembrando as equações de movimento para movimento vertical com aceleração constante (aqui a aceleração é
, negativa porque aponta para baixo):
- Velocidade como função do tempo:
onde
é a velocidade no instante
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração constante. No nosso caso
.
- Posição (altura) como função do tempo, tomando
:
Aqui
é a altura no tempo
,
é a altura inicial (aqui
),
é a velocidade inicial e
a aceleração.
- Relação útil que liga velocidades e deslocamento sem usar o tempo:
Essa última é muito prática para achar a altura máxima porque no topo a velocidade instantânea é
.
Explicando de forma bem direta e sem mistério:
- A equação de
vem de integrar a aceleração constante: => . - A equação de
vem de integrar : => . - A equação
resulta de eliminar entre as duas anteriores (é útil quando sabemos que num instante).
Passo 3
Calcular o tempo para atingir a altura máxima (resposta da letra (b)).
No instante de altura máxima a velocidade instantânea é zero: . Usando
com
:
No instante de altura máxima a velocidade instantânea é zero:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Comentário prático: a velocidade cai linearmente com o tempo por causa da aceleração constante; levar 1{,}43 s para anular uma velocidade inicial de 14 m/s faz sentido porque a cada segundo a velocidade diminui cerca de
.
Passo 4
Calcular a altura máxima (resposta da letra (a)).
Usamos a relação que não precisa do tempo, colocando no topo:
Usamos a relação que não precisa do tempo, colocando
Como
e
, reorganizamos:
Substituindo
e
:
Observação intuitiva: com velocidade inicial de 14 m/s, a caneta sobe 10 m antes de parar; os números aqui se simplificaram muito bem (196 dividido por 19{,}6 dá exatamente 10).
Passo 5
Obter explicitamente as funções
,
e
e descrever como esboçar os gráficos (resposta da letra (c)).
- Funções:
- Usando
e :
- Velocidade:
- Aceleração (constante):
- Como esboçar cada gráfico (passo a passo, do jeito que você pode desenhar na prova):
-
Gráfico de
: - É uma parábola em função de
que abre para baixo (coeficiente de negativo). - Intercepto em
: . - Vértice (ponto mais alto): ocorre em
e tem altura . Então marque o vértice em . - A parábola cruza o eixo do tempo novamente no instante em que a caneta volta ao solo; esse tempo total de voo (não pedido, mas útil) é
. - Desenhe uma curva suave subindo desde
com inclinação inicial (a inclinação inicial é a velocidade inicial) até o vértice, depois descendo simetricamente.
- É uma parábola em função de
-
Gráfico de
: - É uma reta decrescente com coeficiente angular
. - Intercepto em
: . - Atinge zero em
(o mesmo instante do vértice de ). - Para tempos maiores que esse a velocidade fica negativa (movimento para baixo).
- Desenhe uma linha reta que parte em
no eixo vertical e cruza o eixo horizontal em .
- É uma reta decrescente com coeficiente angular
-
Gráfico de
: - É uma linha horizontal constante em
. - Sempre igual a
para todo , tanto na subida quanto na descida. - Em um esboço, desenhe uma linha reta horizontal abaixo do eixo
com valor .
- É uma linha horizontal constante em
Dica de desenho rápido: primeiro marque os pontos-chave (interceptos e vértice em
; intercepto e zero da velocidade em
), depois trace linhas/parábolas ligando esses pontos com a forma indicada.
Passo 6
Resumo final e incentivo rápido: chegamos às respostas com contas curtas e diretas — nada de fórmulas complicadas. Se você decorar as três equações básicas para aceleração constante e lembrar que no topo
, resolve a maioria desses problemas em poucos passos. Força: você já entendeu o procedimento e consegue reproduzir na prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)