Exercício 3: Uma bola de tênis foi arremessada por um garoto contra a parede com um ângulo de \mathbf{4 2}^{\boldsymbol{\circ}}. Considerando que a velocidade de lançamento da bola foi de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a parede estava distante de 24 m do garoto, responda:
(a) A partir da altura de arremesso da bola, qual a posição que a bola atinge a parede?
(b) Esse impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto da parábola realizada pela trajetória da bola?
(c) Qual a magnitude (módulo do vetor) da velocidade ao atingir a parede?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
  • Velocidade inicial: v_0 = 30\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento com a horizontal: \theta = 42^{\circ}.
  • Distância horizontal até a parede (medida a partir do ponto de lançamento): x_{\text{parede}} = 24\\ \mathrm{m}.
  • A partir da altura de arremesso significa que vamos medir a altura vertical y com origem no ponto de lançamento (ou seja, y=0 na altura de arremesso).
    O que o enunciado pede:
    (a) A posição vertical y (altura) em que a bola atinge a parede.
    (b) Se esse impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto da trajetória.
    (c) A magnitude da velocidade da bola ao atingir a parede (ou seja, o módulo do vetor velocidade no instante do impacto).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo como e por quê):
  • Movimento de projéteis sem resistência do ar pode ser tratado separando movimentos horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), e a componente vertical sofre aceleração -g com g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Decomposição da velocidade inicial: v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.Aqui v_{0x} é a componente horizontal (m/s) e v_{0y} a componente vertical inicial (m/s).
  • Tempo para percorrer uma distância horizontal x: como x=v_{0x}t, temos t=\frac{x}{v_{0x}}=\frac{x}{v_0\cos\theta}.Isso é muito útil quando nos dão x (a parede) e queremos o instante em que a bola está em x.
  • Equação vertical da trajetória (medida desde o ponto de lançamento, com y=0 inicialmente): y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.Substituindo t=\dfrac{x}{v_0\cos\theta} obtemos a forma y como função de x: y(x)=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.Essa fórmula é prática porque dá diretamente a altura ao atingir uma certa distância horizontal x.
  • Tempo do ponto mais alto (onde a velocidade vertical é zero): t_{\text{topo}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{v_0\sin\theta}{g}.Comparando t_{\text{impacto}} com t_{\text{topo}} dizemos se o impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto.
  • Componentes da velocidade num tempo t são: v_x(t)=v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_y(t)=v_{0y}-gt=v_0\sin\theta-gt.O módulo da velocidade é v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}.

Passo 3

Calcular as componentes iniciais v_{0x} e v_{0y} e números trigonométricos básicos (usar valores numéricos com 4 casas decimais para trigonometria é suficiente para prova):
  • \cos 42^{\circ}\approx 0,7431. Então v_{0x}=v_0\cos\theta=30\cdot 0,7431\approx 22,294\\ \mathrm{m/s}.
  • \sin 42^{\circ}\approx 0,6691. Então v_{0y}=30\cdot 0,6691\approx 20,074\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação rápida: essas componentes vêm do triângulo reto formado pela velocidade inicial; a componente horizontal é a hipotenusa vezes o cosseno do ângulo, a vertical é hipotenusa vezes seno.)

Passo 4

Calcular o tempo que a bola leva para atingir a parede usando t=\dfrac{x}{v_{0x}}:
t_{\text{impacto}}=\frac{24}{v_{0x}}=\frac{24}{22,294}\approx 1,077\\ \mathrm{s}.
(Interpretação: em cerca de 1,077\\ \mathrm{s} a bola percorre 24\\ \mathrm{m} horizontalmente.)

Passo 5

Calcular a altura y na parede usando a fórmula y(x)=x\tan\theta-\dfrac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}. Primeiro calcule \tan 42^{\circ} e \cos^2 42^{\circ}:
  • \tan 42^{\circ}\approx 0,9004.
  • \cos^2 42^{\circ}=(\cos 42^{\circ})^2\approx 0,7431^2\approx 0,5523.
    Agora substitui em y(x) com x=24\\ \mathrm{m}, v_0=30\\ \mathrm{m/s} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}:
y(24)=24\cdot 0,9004-\frac{9,8\cdot 24^2}{2\cdot 30^2\cdot 0,5523}.
Calcule os termos separadamente:
  • Primeiro termo: 24\cdot 0,9004\approx 21,6096\\ \mathrm{m}.
  • Segundo termo: \dfrac{9,8\cdot 576}{2\cdot 900\cdot 0,5523}=\dfrac{5644,8}{994,14}\approx 5,6761\\ \mathrm{m}.
    Subtraindo:
y(24)\approx 21,6096-5,6761\approx 15,9335\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (suficiente para prova):
y(24)\approx 15,93\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar se o impacto ocorre antes ou depois do topo: calcule o tempo para o ponto mais alto
t_{\text{topo}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{20,074}{9,8}\approx 2,048\\ \mathrm{s}.
Comparando tempos: t_{\text{impacto}}\approx 1,077\\ \mathrm{s} e t_{\text{topo}}\approx 2,048\\ \mathrm{s}. Como 1,077<2,048, o impacto ocorre antes do ponto mais alto da trajetória. (Explicação intuitiva: a bola ainda está subindo quando atinge a parede.)

Passo 7

Calcular a velocidade ao atingir a parede (componentes e módulo). Componentes no instante t_{\text{impacto}}:
  • Componente horizontal (constante): v_x=v_{0x}\approx 22,294\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical no impacto: v_y=v_{0y}-g t_{\text{impacto}}\approx 20,074-9,8\cdot 1,077\approx 20,074-10,55\approx 9,524\\ \mathrm{m/s}.
(Nota: v_y>0 confirma que a bola ainda sobe.)
Módulo da velocidade:
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{22,294^2+9,524^2}.
Calcule:
  • 22,294^2\approx 497,03.
  • 9,524^2\approx 90,72.
    Soma \approx 587,75. Portanto
v\approx \sqrt{587,75}\approx 24,25\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 15,93\\ \mathrm{m}
(b) Antes do ponto mais alto da trajetória
(c) 24,25\\ \mathrm{m/s}

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