Exercício 3: Uma bola de tênis foi arremessada por um garoto contra a parede com um ângulo de
. Considerando que a velocidade de lançamento da bola foi de
e a parede estava distante de 24 m do garoto, responda:
(a) A partir da altura de arremesso da bola, qual a posição que a bola atinge a parede?
(b) Esse impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto da parábola realizada pela trajetória da bola?
(c) Qual a magnitude (módulo do vetor) da velocidade ao atingir a parede?
(a) A partir da altura de arremesso da bola, qual a posição que a bola atinge a parede?
(b) Esse impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto da parábola realizada pela trajetória da bola?
(c) Qual a magnitude (módulo do vetor) da velocidade ao atingir a parede?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
. - Distância horizontal até a parede (medida a partir do ponto de lançamento):
. - A partir da altura de arremesso significa que vamos medir a altura vertical
com origem no ponto de lançamento (ou seja, na altura de arremesso).
O que o enunciado pede:
(a) A posição vertical(altura) em que a bola atinge a parede.
(b) Se esse impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto da trajetória.
(c) A magnitude da velocidade da bola ao atingir a parede (ou seja, o módulo do vetor velocidade no instante do impacto).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo como e por quê):
- Movimento de projéteis sem resistência do ar pode ser tratado separando movimentos horizontal e vertical. A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), e a componente vertical sofre aceleração
com . - Decomposição da velocidade inicial:
Aqui é a componente horizontal (m/s) e a componente vertical inicial (m/s). - Tempo para percorrer uma distância horizontal
: como , temos Isso é muito útil quando nos dão (a parede) e queremos o instante em que a bola está em . - Equação vertical da trajetória (medida desde o ponto de lançamento, com
inicialmente): Substituindo obtemos a forma como função de : Essa fórmula é prática porque dá diretamente a altura ao atingir uma certa distância horizontal . - Tempo do ponto mais alto (onde a velocidade vertical é zero):
Comparando com dizemos se o impacto ocorre antes ou depois do ponto mais alto. - Componentes da velocidade num tempo
são: O módulo da velocidade é
Passo 3
Calcular as componentes iniciais
e
e números trigonométricos básicos (usar valores numéricos com 4 casas decimais para trigonometria é suficiente para prova):
-
. Então -
. Então
(Explicação rápida: essas componentes vêm do triângulo reto formado pela velocidade inicial; a componente horizontal é a hipotenusa vezes o cosseno do ângulo, a vertical é hipotenusa vezes seno.)
Passo 4
Calcular o tempo que a bola leva para atingir a parede usando
:
(Interpretação: em cerca de
a bola percorre
horizontalmente.)
Passo 5
Calcular a altura
na parede usando a fórmula
. Primeiro calcule
e
:
-
. -
.
Agora substitui emcom , e :
Calcule os termos separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Subtraindo:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (suficiente para prova):
Passo 6
Determinar se o impacto ocorre antes ou depois do topo: calcule o tempo para o ponto mais alto
Comparando tempos:
e
. Como
, o impacto ocorre antes do ponto mais alto da trajetória. (Explicação intuitiva: a bola ainda está subindo quando atinge a parede.)
Passo 7
Calcular a velocidade ao atingir a parede (componentes e módulo). Componentes no instante
:
- Componente horizontal (constante):
- Componente vertical no impacto:
(Nota:
confirma que a bola ainda sobe.)
Módulo da velocidade:
Módulo da velocidade:
Calcule:
-
. -
.
Soma. Portanto
Resposta
(a)
(b) Antes do ponto mais alto da trajetória
(c)
(b) Antes do ponto mais alto da trajetória
(c)