Um bastão de massa m desliza em trilhos condutores sem atrito em uma região que tem um campo magnético uniforme e estático \vec{B} dirigido para dentro da página (semelhante a figura do exemplo acima). Um agente externo está empurrando o bastão, mantendo seu movimento para a direita a uma velocidade constante \mathrm{V}_{0}. No instante \mathrm{t}=0 o agente para abruptamente de empurrar e o bastão continua se movendo para a frente enquanto é desacelerado pela força magnética. Determine a velocidade do bastão como função do tempo.

Passo 1

O enunciado trata de um bastão de massa m que desliza sem atrito sobre dois trilhos condutores separados de distância l, em uma região de campo magnético uniforme \vec{B} perpendicular (para dentro da página). Um agente externo o mantinha com velocidade constante V_{0} para a direita, mas para de empurrar em t=0. A partir daí, o bastão sofre desaceleração devido à força magnética de arraste induzida. Para resolver, vamos usar:
  1. Lei de Faraday–Lenz (força eletromotriz motora).
  2. Lei de Ohm para a corrente induzida.
  3. Força de Laplace sobre o bastão.
  4. Segunda lei de Newton resultando numa equação diferencial de 1ª ordem.

Passo 2

Quando o bastão se desloca com velocidade v, aparece uma fem motora
\varepsilon = B\,l\,v.
Essa fem induz uma corrente no circuito formado pelos trilhos e pelo bastão. Se o circuito tem resistência total R, então
I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\,l\,v}{R}.

Passo 3

A força magnética de arraste sobre o bastão é dada pela regra da mão direita (força de Laplace):
F_{B} = I\,l\,B = \frac{B^{2}l^{2}}{R}\;v.
Ela aponta para a esquerda, isto é, se opõe ao movimento.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal:
m\,\frac{dv}{dt} = -\,F_{B} = -\,\frac{B^{2}l^{2}}{R}\;v.
Obtém–se uma equação diferencial separável de primeira ordem.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos de t=0 (onde v=V_{0}) até um tempo genérico t:
\frac{dv}{v} = -\,\frac{B^{2}l^{2}}{m\,R}\,dt \quad\Longrightarrow\quad \int_{V_{0}}^{v(t)}\!\frac{dv'}{v'} = -\,\frac{B^{2}l^{2}}{m\,R}\int_{0}^{t}\!dt'.
Isso dá
\ln\frac{v(t)}{V_{0}} = -\,\frac{B^{2}l^{2}}{m\,R}\;t.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados, obtemos a velocidade em função do tempo:
v(t) = V_{0}\,\exp\!\Bigl(-\frac{B^{2}l^{2}}{m\,R}\,t\Bigr).

Resposta

v(t) = V_{0}\,\exp\!\Bigl(-\frac{B^{2}l^{2}}{m\,R}\,t\Bigr).

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