Um bastão de metal pode ter três tipos de ondas: som (longitudinais), ondas de cisalhamento (transversais) e ondas de torção (transversais). Enquanto que as ondas transversais são bem mais complicadas do que em uma corda, o som é relativamente simples. O som pode se propagar em todas as direções em um volume do material ou ao longo de uma barra fina quando comparada com o comprimento de onda do som. (a) Qual é a velocidade do som em um bastão fino em termos das propriedades do material que o compõe? Faça uma analogia, adaptando o que for necessário, com o som em um tubo de ar. (b) Calcule numericamente a velocidade do som para bastões fei-
tos de diferentes materiais, especialmente o aço ( rho=7800 kg / m^3, Y=200 GPa.

Passo 1

Neste exercício vamos determinar a velocidade de propagação de ondas longitudinais (som) em um bastão fino de material elástico. O conteúdo envolvido é a equação de onda unidimensional em sólidos e a relação entre tensão e deformação via módulo de Young Y; precisaremos também da densidade rho do material.

Passo 2

Em um fluido (ou ar) a velocidade do som satisfaz v=raizB/rho, com B sendo o módulo de compressibilidade (bulk modulus). Num bastão sujeito a pequenas deformações longitudinais, a tensão sigma e a deformação varepsilon se relacionam por sigma=Y,varepsilon. Ao montar a equação de equilíbrio e deformação para deslocamento u(x,t), obtém-se
rho,partial^2 upartial t^2=Y,partial^2 upartial x^2,
Dessa equação de onda segue que
v=raizYrho,

Passo 3

Para calcular numericamente no aço usamos rho=7800,kg/m^3 e Y=200,GPa=2.00times10^11,Pa. Logo,
v=raiz2.00times10^117800approx5.06times10^3,m/s,

Resposta

Para ondas longitudinais em bastão fino vale v=raizY/rho. No caso do aço, vapprox5.06times10^3,m/s

Exercícios relacionados