Use primitivas das funções para calcular as áreas das seguintes integrais:
integral2^3 12 raizx d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área que está entre a curva da função f(x) = 12 raizx e o eixo x , no intervalo de x = 2 até x = 3 . Para isso, vamos usar o conceito de integrais e primitivas de funções, que são ferramentas essenciais no cálculo para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma primitiva. A primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Em termos simples, se você tem uma função f(x) , encontrar a primitiva é descobrir qual função, quando derivada, dá f(x) .
No nosso caso, a função que vamos integrar é f(x) = 12 raizx . Podemos reescrever essa função para facilitar a integração:
f(x) = 12 cdot x^-1/2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primitiva de f(x) = 12 cdot x^-1/2 . Para integrar x^n , usamos a regra:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando essa regra:
integral 12 x^-1/2 , dx = 12 cdot x^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = 12 cdot x^1/21/2 + C = x^1/2 + C = raizx + C
Então, a primitiva de f(x) é raizx + C , onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora que temos a primitiva, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de 2 a 3:
integral2^3 12 raizx , dx = [ raizx ]2^3 = raiz3 - raiz2
Isso significa que a área sob a curva entre x = 2 e x = 3 é a diferença entre raiz3 e raiz2 .

Resposta

A área da integral é raiz3 - raiz2 .

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