Verifique nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva de f :
F(x)=sen x-cos x e f(x)=x sen x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
F(x)=sen x-cos x
é uma primitiva de
f(x)=x,sen x
O conteúdo envolvido é o de derivadas e o critério de que F é primitiva de f se, e somente se,
F'(x)=f(x)
para todo x do domínio comum.

Passo 2

Calculemos F'(x). Usamos que
ddx(sen x)=cos x e ddx(-cos x)=sen x
Logo,
F'(x)=cos x+sen x

Passo 3

Comparemos o resultado com f(x). Temos
F'(x)=cos x+sen x e f(x)=x,sen x
Para ser primitiva, precisaríamos de
cos x+sen x=x,sen x
para todo x, o que não ocorre (por exemplo em x=0 obtemos F'(0)=1 enquanto f(0)=0).

Resposta

F não é primitiva de f, pois F'(x)=cos x+sen xneq x,sen x=f(x).

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