As superfícies de equações
F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-3=0 e G(x, y, z)=x^2+2 x+y^2-4=0
têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P0=(1,1,1).
a) Encontre as taxas de variação de F e G na direção de um vetor tangente a C em P0.
b) Encontre a direção na qual a taxa de variação de G em P0 é máxima. Qual é essa taxa?

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3=0
e
G(x,y,z)=x^2+2x+y^2-4=0
que se intersectam numa curva C passando por P0=(1,1,1). Queremos (a) as taxas de variação de F e G na direção de um vetor tangente a C em P0 e (b) a direção de máxima variação de G em P0 e essa taxa máxima. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculemos os gradientes em P0:
nabla F=(2x,2y,2z)Longrightarrow nabla F(1,1,1)=(2,2,2),
nabla G=(2x+2,,2y,,0)Longrightarrow nabla G(1,1,1)=(4,2,0)

Passo 3

Um vetor vec v tangente a C em P0 deve ser ortogonal a nabla F(1,1,1) e a nabla G(1,1,1). Assim podemos tomar
vec v=nabla F(1,1,1)timesnabla G(1,1,1) = i&j&k 2&2&2 4&2&0 =(-4,,8,,-4)

Passo 4

O vetor unitário nessa direção é vec u=vec v/|vec v|. As derivadas direcionais são
Dvec uF=nabla F(1,1,1)cdotvec u, Dvec uG=nabla G(1,1,1)cdotvec u
Por construção vec uperpnabla F e vec uperpnabla G, logo
Dvec uF=Dvec uG=0

Passo 5

Para (b), a direção de máxima variação de G em P0 é a direção de nabla G(1,1,1). O vetor unitário é
vec w=nabla G(1,1,1)|nabla G(1,1,1)| =(4,2,0)raiz4^2+2^2+0^2 =l(tfrac2raiz5,,tfrac1raiz5,,0r)

Passo 6

A taxa máxima de variação de G em P0 é o módulo do gradiente:
max Dvec uG=|nabla G(1,1,1)|=raiz4^2+2^2=2raiz5

Resposta

a) Se vec u é tangente a C em P0, então
Dvec uF(1,1,1)=0 e Dvec uG(1,1,1)=0.
b) A direção de máxima variação de G em P0 é
vec w=(2/raiz5,,1/raiz5,,0)
e a taxa máxima é 2raiz5.

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