têm como interseção uma curva que passa pelo ponto .
a) Encontre as taxas de variação de e na direção de um vetor tangente a em .
b) Encontre a direção na qual a taxa de variação de em é máxima. Qual é essa taxa?
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies
e
que se intersectam numa curva passando por . Queremos (a) as taxas de variação de e na direção de um vetor tangente a em e (b) a direção de máxima variação de em e essa taxa máxima. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculemos os gradientes em :
Passo 3
Um vetor tangente a em deve ser ortogonal a e a . Assim podemos tomar
Passo 4
O vetor unitário nessa direção é vec u=vec v/|vec v|. As derivadas direcionais são
Dvec uF=nabla F(1,1,1)cdotvec u, Dvec uG=nabla G(1,1,1)cdotvec u
Por construção vec uperpnabla F e vec uperpnabla G, logo
Dvec uF=Dvec uG=0
Passo 5
Para (b), a direção de máxima variação de G em P0 é a direção de nabla G(1,1,1). O vetor unitário é
A taxa máxima de variação de G em P0 é o módulo do gradiente:
max Dvec uG=|nabla G(1,1,1)|=raiz4^2+2^2=2raiz5
Resposta
a) Se vec u é tangente a C em P0, então Dvec uF(1,1,1)=0 e Dvec uG(1,1,1)=0.
b) A direção de máxima variação de G em P0 é vec w=(2/raiz5,,1/raiz5,,0)
e a taxa máxima é 2raiz5.