Uma batata doce, considerada uma esfera de diâmetro 8 cm , está à temperatura uniforme de 100^{\circ} \mathrm{C} após o cozimento. As propriedades térmicas da batata doce: k=0,580 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \rho=1101 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; C p= 3,44 \mathrm{KJ} / \mathrm{kgK} ; \alpha=0,15310^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. O coeficiente de conveção sobre a superficie da batata doce foi estimado em 6,55 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Estime o tempo necessário para que a temperatura na superficie externa da batata atinja 40^{\circ} \mathrm{C} durante a sua exposição em um ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento de uma batata doce modelada como esfera de diâmetro 8,cm, inicialmente a 100\,^\circ\mathrm{C}, exposta a um fluido a 25\,^\circ\mathrm{C}. As propriedades térmicas são k=0,580\,\mathrm{W/mK}, \rho=1101\,\mathrm{kg/m^3}, C_p=3440\,\mathrm{J/(kg\,K)} e o coeficiente de convecção na superfície é h=6,55\,\mathrm{W/(m^2\,K)}. Queremos estimar o tempo necessário para que a temperatura da superfície chegue a 40\,^\circ\mathrm{C}. Vamos usar o método de capacidade concentrada (lumped capacitance), válido quando o número de Biot não é muito grande.

Passo 2

Calcular o raio e o comprimento característico da esfera. O raio vale
R = \frac{8\,\mathrm{cm}}{2} = 0,04\,\mathrm{m}.
O comprimento característico para uma esfera é
L_c = \frac{V}{A} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3}.

Passo 3

Determinar o número de Biot
\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k} = \frac{6,55\cdot(0,04/3)}{0,580}\approx0,15.
Como \mathrm{Bi}<0,1 seria ideal, aqui \mathrm{Bi}\approx0,15 ainda permite uma estimativa razoável pelo modelo lumped.

Passo 4

No modelo de capacidade concentrada, a temperatura do corpo é uniforme e sua equação de resfriamento é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} =\exp\!\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,V\,C_p}\,t\Bigr),
onde T_i=100\,^\circ\mathrm{C}, T_\infty=25\,^\circ\mathrm{C} e T(t) é a temperatura em t.

Passo 5

Calcular volume, área, massa e capacitância térmica do corpo:
V = \frac{4}{3}\pi (0,04)^3 \approx 2{,}68\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}, \quad A = 4\pi (0,04)^2 \approx 2{,}01\times10^{-2}\,\mathrm{m^2}.
A massa é m=\rho\,V\approx1101\cdot2{,}68\times10^{-4}=0,295,kg e a capacitância térmica é
m\,C_p = 0,295\cdot3440\approx1015\;\mathrm{J/K}.
O produto h\,A vale
h\,A = 6,55\cdot2{,}01\times10^{-2}\approx0,132\;\mathrm{W/K}.

Passo 6

Isolar o tempo t para atingir T(t)=40\,^\circ\mathrm{C} resulta em
t = -\frac{\rho\,V\,C_p}{h\,A} \ln\!\Bigl(\frac{40-25}{100-25}\Bigr).
Substituindo os valores numéricos:
t \approx -\frac{1015}{0,132} \ln\!\Bigl(\frac{15}{75}\Bigr) \approx 7710\;\mathrm{s}\times1{,}609 \approx 1{,}24\times10^4\;\mathrm{s}.
Em horas, t\approx1{,}24\times10^4/3600\approx3{,}45,h.

Resposta

O tempo estimado é aproximadamente 3{,}45 horas.

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