Uma fatia de alcatra, com espessura de 2,2 \mathrm{~cm} e diâmetro médio de 10 cm , está inicialmente à temperatura uniforme de 10^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades da alcatra são: k=0,69 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \alpha=1,62510^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Em seguida, ela é colocada sobre uma grelha com ar circulando a 210^{\circ} \mathrm{C}. Como a grelha é perfurada, pode-se considerar o aquecimento por toda a superficie. O coeficiente de transporte de calor entre a superficie da carne e o meio de aquecimento é de 14 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Podem-se desprezar eventuais efeitos de mudança de estado durante o aquecimento. Deseja-se ter, ao final do cozimento, uma alcatra “ao ponto”, isto é, a temperatura em qualquer ponto da carne não deve ser inferior a 121^{\circ} \mathrm{C}. Com 50 min é possivel atingir essa condição?

Passo 1

O enunciado descreve uma fatia de alcatra de espessura total 0,022\,\mathrm m (metade L=0,011\,\mathrm m) e diâmetro médio 0,10\,\mathrm m, inicialmente a 10^\circ\mathrm C. Ela é exposta a ar a 210^\circ\mathrm C com coeficiente de convecção h=14\,\mathrm{W/m^2K}. Queremos saber se em t=50 min a temperatura em todo ponto da espessura atinge pelo menos 121^\circ\mathrm C. Trata-se de condução transiente em uma laje (slab) de metade da espessura L, com convecção em ambas as faces.

Passo 2

Calcular o número de Biot para a laje, que indica se a temperatura interna é uniforme ou não.
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k} =\frac{14\;\mathrm{W/m^2K}\times0,011\;\mathrm m}{0,69\;\mathrm{W/mK}} \approx0{,}22.
Como \mathrm{Bi}>0{,}1, não podemos usar o modelo de corpo de temperatura uniforme; precisamos da solução da equação de condução transiente.

Passo 3

Na laje com simetria no plano médio, a solução no ponto central x=0 é, pelo método de séries,
\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\exp(-\lambda_n^2\,\mathrm{Fo}),
onde
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{L^2}, \quad\alpha=1{,}625\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s},
e os autovalores \lambda_n satisfazem
\tan\lambda_n=\frac{\mathrm{Bi}}{\lambda_n}.
Como \mathrm{Bi} é pequeno, o primeiro termo n=1 domina a soma. Então aproximamos
\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx A_1\,\exp(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}).

Passo 4

Determinar \lambda_1 pela equação transcendente
\tan\lambda_1 = \frac{0{,}22}{\lambda_1}.
Resolvend0 numericamente, obtém-se \lambda_1\approx0{,}454.
O coeficiente A_1 vale
A_1 =\frac{4\sin\lambda_1}{2\lambda_1+\sin(2\lambda_1)} \approx\frac{4\sin(0{,}454)}{2\cdot0{,}454+\sin(0{,}908)} \approx1{,}033.

Passo 5

Para a condição “ao ponto” queremos T(0,t)\ge121^\circ\mathrm C. Substituindo T_i=10^\circ\mathrm C e T_\infty=210^\circ\mathrm C, a temperatura central desejada dá
\frac{121-210}{10-210} =\frac{-89}{-200} =0{,}445.
Logo, do termo dominante temos
A_1\,\exp(-\lambda_1^2\,\mathrm{Fo}) =0{,}445 \;\Longrightarrow\; \exp(-0{,}454^2\,\mathrm{Fo}) =\frac{0{,}445}{1{,}033} \approx0{,}431.
Tomando logaritmo,
-0{,}454^2\,\mathrm{Fo}=\ln(0{,}431)\approx-0{,}841 \;\Longrightarrow\; \mathrm{Fo}=\frac{0{,}841}{0{,}454^2}\approx4{,}08.

Passo 6

Determinar o tempo necessário:
t=\frac{\mathrm{Fo}\,L^2}{\alpha} =4{,}08\;\frac{(0{,}011)^2}{1{,}625\times10^{-7}} \approx3{,}04\times10^3\;\mathrm s \approx50{,}7\;\mathrm{min}.

Passo 7

Comparando com t=50 min, concluímos que 50{,}0 min é ligeiramente insuficiente para que o centro atinja 121^\circ\mathrm C (fica em cerca de 119{,}8^\circ\mathrm C).

Resposta

Não, com 50 min não é possível garantir T\ge121^\circ\mathrm C em todo ponto da alcatra.

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