(8) - Considere o sistema Terra-Sol, tal que m é a massa da Terra e R é a distância Terra-Sol. Sejam as seguintes afirmativas:
I. Se A a B são as posições da Terra em dias consecutivos e S é a posição do Sol, a área do arco \widehat{\text { ASB }} independe dos dias analisados.
II. Na aproximação de movimento circular uniforme, o momento angular da Terra em relação ao Sol é \ell=2 \pi m R^{2} /(1 ano ).
III. No referencial do Sol, o torque externo sobre a Terra pode ser calculado pela variação do momento angular total em relação a qualquer ponto do sistema solar.
Estão corretas as afirmações
(a) I;
(b) II;
(c) I e II;
(d) II e III;

Passo 1

O enunciado fala do sistema Terra–Sol, com massa da Terra m e distância média R. Ele nos pede para avaliar três afirmações:
I. Áreas varridas em dias consecutivos são iguais (Kepler II).
II. Em órbita circular uniforme, \ell = 2\pi m R^{2}/T com T=1 ano.
III. No referencial do Sol, a relação entre torque externo e variação do momento angular vale para qualquer ponto do sistema solar.
Vamos usar conceitos de leis de Kepler, momento angular em órbita circular e relação geral d\mathbf{L}/dt = \boldsymbol{\tau}.

Passo 2

A afirmação I é exatamente a segunda lei de Kepler: “áreas iguais em tempos iguais”. Em dois dias quaisquer, o setor \widehat{ASB} formado pelos raios Terra–Sol varre a mesma área, pois a força gravitacional é central e não gera torque, impondo velocidade areolar constante. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação II, em órbita circular uniforme a velocidade escalar é
v=\frac{2\pi R}{T},
onde T=1 ano. O momento angular em módulo é
\ell = m\,v\,R = m\,R\cdot\frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi mR^{2}}{T}.
Como T=1 ano, segue \ell=2\pi mR^{2}/(1\text{ ano}). Assim, II é correta.

Passo 4

A afirmação III diz que, no referencial do Sol, o torque externo sobre a Terra pode ser obtido pela variação do momento angular total em relação a qualquer ponto do sistema solar.
Mas a relação
\frac{d\mathbf{L}_{O}}{dt} \;=\;\boldsymbol{\tau}_{O}^{\rm ext}
vale apenas quando o ponto O é um ponto fixo ou um referencial inercial; mudar o ponto de referência para um corpo em aceleração (por exemplo outro planeta) introduz torques “fictícios” e complica a relação. Portanto não podemos usar “qualquer” ponto à vontade. Logo, III é falsa.

Resposta

(c) I e II.

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