De uma batelada de 30 transdutores de temperatura, uma amostra de 10 é selecionada, sem reposição.
I. Considere que nesta batelada, existem 3 transdutores com defeito. Determine a probabilidade de que pelo menos um dos transdutores escolhidos tenha defeito.
II. Considere que nesta batelada, existem 8 transdutores com defeito. Qual é a probabilidade de que nenhum dos transdutores escolhidos tenha defeito?

Passo 1

O problema: temos uma batelada de 30 transdutores, escolhemos 10 sem reposição. Na parte I existem 3 defeituosos na batelada; queremos P(pelo menos um defeituoso). Na parte II existem 8 defeituosos; queremos P(nenhum defeituoso). Vamos usar a distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de tirar exatamente k itens “sucesso” (aqui defeituosos) numa amostra de tamanho n, extraída sem reposição de uma população de tamanho N com m sucessos, é dada por
P(X=k)=binommk,binomN-mn-kbinomNn

Passo 3

Para a parte I queremos P(pelo menos um defeituoso). É mais fácil usar o complementar: “nenhum defeituoso” (k=0). Assim
P(≥1 defeito)=1-P(X=0)=1-binom30,binom30-310-0binom3010=1-binom2710binom3010

Passo 4

Agora calculando numericamente:
binom3010=30045015, binom2710=8436285
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P(≥1 defeito)=1-843628530045015approx0,7192

Passo 5

Para a parte II queremos P(nenhum defeituoso) quando m=8. Basta usar k=0 na fórmula:
P(X=0)=binom80,binom30-810binom3010=binom2210binom3010
Sabendo que binom2210=646646, temos
P(X=0)=64664630045015approx0,02153

Resposta

I. P(pelo menos um defeito)=1-dfracbinom2710binom3010approx0,7192
II. P(nenhum defeito)=dfracbinom2210binom3010approx0,02153

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