Questão 2 (2,5). Considere seguinte a função de probabilidade acumulada F(x) associada a uma variável contínua.
F(x)=x^2+x12 , para 0 <= x <= 3
a) Obtenha a função densidade de probabilidade f(x).
b) Calcule o valor esperado e a variância de X .
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
& A=1 <= x <= 2 & B=1,5 <= x <= 3
A cap B

Passo 1

O enunciado define a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável contínua em 0≤x≤3:
F(x)=x^2+x12
Precisamos usar teoria de variáveis contínuas:
- Para achar a densidade a partir da CDF, usamos derivada.
- Para esperança e variância, usamos integrais de f(x).
- Para probabilidades de intervalos, aplicamos diferença de F(x).

Passo 2

Primeiro, obtemos a função densidade f(x) derivando F(x):
Sabendo que f(x)=F'(x), temos
f(x)=ddxgl(x^2+x12gr)=2x+112, 0<= x<=3

Passo 3

Para calcular o valor esperado E[X], usamos
E[X]=integral0^3x,f(x),dx=112integral0^3(2x^2+x),dx
Executando a integral:
integral0^3(2x^2+x),dx=l[tfrac2x^33+tfracx^22r]0^3=18+4.5=22.5,
logo
E[X]=22.512=158=1.875

Passo 4

Para a variância, precisamos de E[X^2]:
E[X^2]=integral0^3x^2,f(x),dx=112integral0^3(2x^3+x^2),dx
Calculando:
integral0^3(2x^3+x^2),dx=l[tfrac2x^44+tfracx^33r]0^3=40.5+9=49.5,
portanto
E[X^2]=49.512=338=4.125
Então
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=338-l(158r)^2=3964approx0.6094

Passo 5

Para calcular P(A)=P(1<= X<=2), usamos
P(A)=F(2)-F(1)=2^2+212-1^2+112=612-212=412=13

Passo 6

Para P(B)=P(1.5<= X<=3), fazemos
P(B)=F(3)-F(1.5)=1-1.5^2+1.512=1-3.7512=1-0.3125=0.6875=1116

Passo 7

O evento Acap B é 1.5<= X<=2. Logo
P(Acap B)=F(2)-F(1.5)=0.5-0.3125=0.1875=316

Resposta

a) f(x)=2x+112 para 0<= x<=3.
b) E[X]=tfrac158, Var(X)=tfrac3964.
c) P(A)=tfrac13, P(B)=tfrac1116, P(Acap B)=tfrac316.

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