Questão 2 (2,5). Considere seguinte a função de probabilidade acumulada
associada a uma variável contínua.
a) Obtenha a função densidade de probabilidade
.
b) Calcule o valor esperado e a variância de X .
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
b) Calcule o valor esperado e a variância de X .
c) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
Passo 1
O enunciado define a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável contínua em 0≤x≤3:
Precisamos usar teoria de variáveis contínuas:
- Para achar a densidade a partir da CDF, usamos derivada.
- Para esperança e variância, usamos integrais de f(x).
- Para probabilidades de intervalos, aplicamos diferença de F(x).
Passo 2
Primeiro, obtemos a função densidade f(x) derivando F(x):
Sabendo que , temos
Sabendo que
Passo 3
Para calcular o valor esperado
, usamos
Executando a integral:
logo
Passo 4
Para a variância, precisamos de
:
Calculando:
portanto
Então
Passo 5
Para calcular
, usamos
Passo 6
Para
, fazemos
Passo 7
O evento
é
. Logo
Resposta
a)
para
.
b) ,
.
c) ,
,
.
b)
c)