Questão 3 (3,5). Uma máquina produz 6 % de itens defeituosos. Cada item produzido passa por um teste de qualidade que o classifica como “bom”, “defeituoso” ou “suspeito”. Este teste classifica 10 % dos itens defeituosos como bons e 20 % como suspeitos. Ele também classifica 5% dos itens bons como defeituosos e 15 % como suspeitos.
a) Qual é a probabilidade de um item ser classificado como suspeito?
b) Qual a probabilidade de um item ser defeituoso sabendo-se que foi classificado como suspeito?
c) Outro teste é aplicado somente aos itens suspeitos, e classifica 97 % dos itens defeituosos e 10 % dos itens bons como defeituosos. Qual a probabilidade de um item classificado como defeituoso neste segundo teste ser de fato defeituoso?

Passo 1

O enunciado nos diz que uma máquina produz itens com P(D)=6% de defeituosos e P(B)=94% de bons. Cada item passa por um primeiro teste que classifica como bom, defeituoso ou suspeito, com erros dados. Depois, itens suspeitos passam por um segundo teste que só classifica como defeituoso ou não, também com erros.

Passo 2

Vamos definir probabilidades importantes do primeiro teste usando notação: D = item realmente defeituoso, B = item realmente bom, S = classificado como suspeito no primeiro teste. Do enunciado temos as probabilidades condicionais: P(D)=0.06, P(B)=0.94; P(S|D)=0.20, P(
S|B)=0.15.

Passo 3

Para a parte (a) usamos a lei da probabilidade total para P(S):
P(S)=P(S|D),P(D)+P(S|B),P(B)=0.20times0.06+0.15times0.94=0.012+0.141=0.153

Passo 4

Na parte (b) queremos P(D|S). Aplicamos Bayes:
P(D|S)=P(S|D),P(D)P(S)=0.20times0.060.153=0.0120.153approx0.0784

Passo 5

Para a parte ©, consideramos agora só os itens em S como universo. Definimos no segundo teste: T = classificado como defeituoso no segundo teste. Do enunciado, para itens defeituosos em S ele acerta 97%, e para bons em S classifica 10% como defeituosos. Assim:
• P(D|S)≈0.0784 e P(B|S)=1−0.0784=0.9216
• P(T|D,S)=0.97 e P(T|B,S)=0.10
Usamos novamente a lei da probabilidade total para P(T|S) e depois Bayes dentro de S:
P(T|S)=0.97times0.0784+0.10times0.9216approx0.07605+0.09216=0.16821
P(D|T,S)=0.97times0.07840.16821approx0.4524

Resposta

(a) 0.153 (15.3%)
(b) 0.0784 (7.84%)
© 0.4524 (45.24%)

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