Uma batelada consiste em um total de 20 reações independentes endotérmicas, envolvendo bicarbonato de sódio deverá ser conduzido. O número médio de reações endotérmicas em uma batelada é igual a 18. Suponha que o número de reações endotérmicas que resultam em uma temperatura final de 271 K seja uma variável aleatória com função de probabilidade de uma distribuição binomial.
a) Qual é a variável aleatória?
b) Quais são os valores dos parâmetros? (Resposta: 20 e 0,9)
c) Qual a probabilidade de encontrarmos pelo menos 19 reações endotérmicas que resultam em uma temperatura final de 271 K. (Resposta: 0,3918 )
d) Qual a probabilidade de encontrarmos exatamente duas reações endotérmicas que resultam em uma temperatura final de 271 K . (Resposta: 0,2851 )

Passo 1

O enunciado trata de uma batelada com 20 reações independentes, cada uma resultando ou não em temperatura final de 271,K. Diz-se que o número médio dessas “sucessos” é 18. Como estamos lidando com contagem de sucessos em n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso, o modelo apropriado é a distribuição binomial. Para resolver, vamos:
– Definir a variável aleatória.
– Determinar n e p a partir da média.
– Calcular as probabilidades pedidas usando a fórmula da binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X = \text{número de reações (de um total de 20) que resultam em }271\text{ K}.úçõ
Então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p.

Passo 3

Na binomial temos \mathbb{E}[X]=n\,p. Como \mathbb{E}[X]=18 e n=20, segue
p = \frac{\mathbb{E}[X]}{n} = \frac{18}{20} = 0{,}9.
Logo
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=20,\;p=0{,}9\bigr).

Passo 4

Queremos
P(X\ge 19) = P(X=19) + P(X=20).
Pela fórmula da binomial,
P(X=k)=\binom{20}{k}\,(0{,}9)^{k}\,(0{,}1)^{20-k}.
Assim
P(X=19)=\binom{20}{19}(0{,}9)^{19}(0{,}1)^{1} =20\,(0{,}9)^{19}(0{,}1),
P(X=20)=(0{,}9)^{20}.
Numericamente
P(X\ge19) =20\,(0{,}9)^{19}(0{,}1)+(0{,}9)^{20} \approx 0{,}3918.

Passo 5

Para exatamente duas reações com 271,K, calculamos
P(X=2)=\binom{20}{2}\,(0{,}9)^{2}\,(0{,}1)^{18}.
Temos \binom{20}{2}=190, logo
P(X=2) =190\,(0{,}9)^{2}(0{,}1)^{18} \approx 1{,}54\times10^{-16}.

Resposta

a) X = número de reações (de 20) que resultam em temperatura final de 271,K.
b) n=20 e p=0{,}9.
c) P(X\ge19)\approx0{,}3918.
d) P(X=2)\approx1{,}54\times10^{-16}.

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