Questão 2
Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
e
.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(b) Calcule a função de distribuição acumulada
, a esperança
, a variância V(X) e o desvio padrão
da variável aleatória
.
Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente,
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(b) Calcule a função de distribuição acumulada
Passo 1
O enunciado fala de três moedas independentes, com probabilidades de cara
,
e
. Definimos a variável aleatória
como a diferença entre o número de caras e o número de coroas em três lançamentos. Para resolver, vamos:
- Representar
em função de , número de caras. - Calcular a distribuição de
(soma de Bernoullis não idênticas). - Traduzir em pmf de
. - Deduzir a função de distribuição acumulada
. - Calcular
, e o desvio padrão .
Passo 2
Chamemos
o número de caras obtidas. Então
e
Logo
só pode valer
. Para achar a pmf, primeiro achamos
Passo 3
Como
, associamos cada
a um valor de
:
Logo a função de probabilidade de
é
Passo 4
A função de distribuição acumulada
fica, em trechos:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Usamos
. Como
,
Para a variância, primeiro
.
Então
Então
e o desvio padrão
Resposta
(a)
(b)