Questão 2
Três moedas viciadas são lançadas de forma independente. As probabilidades de obter cara em cada moeda são, respectivamente, 1 / 3,1 / 2 e 2 / 3.
(a) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X , que representa a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos ao lançar as três moedas viciadas.
(b) Calcule a função de distribuição acumulada F_{-} X(x), a esperança E(X), a variância V(X) e o desvio padrão \sigma da variável aleatória X.

Passo 1

O enunciado fala de três moedas independentes, com probabilidades de cara p_{1}=1/3, p_{2}=1/2 e p_{3}=2/3. Definimos a variável aleatória X como a diferença entre o número de caras e o número de coroas em três lançamentos. Para resolver, vamos:
  1. Representar X em função de H, número de caras.
  2. Calcular a distribuição de H (soma de Bernoullis não idênticas).
  3. Traduzir em pmf de X.
  4. Deduzir a função de distribuição acumulada F_X(x).
  5. Calcular E(X), \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão \sigma.

Passo 2

Chamemos H o número de caras obtidas. Então H\in\{0,1,2,3\} e
X = (\#\text{caras}) - (\#\text{coroas}) = H - (3-H) = 2H - 3.
Logo X só pode valer -3,-1,1,3. Para achar a pmf, primeiro achamos
P(H=0)=\prod_{i=1}^{3}(1-p_i) =\Bigl(\tfrac23\Bigr)\Bigl(\tfrac12\Bigr)\Bigl(\tfrac13\Bigr) =\tfrac{1}{9},
P(H=1)=\sum_{i=1}^{3}p_i\prod_{j\neq i}(1-p_j) =\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac12\cdot\tfrac13 +\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac13 +\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac23 =\tfrac{7}{18},
P(H=2)=\sum_{1\le i<j\le3}p_i\,p_j\,(1-p_k) =\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac12\cdot\tfrac13 +\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12 +\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac23 =\tfrac{7}{18},
P(H=3)=\prod_{i=1}^{3}p_i =\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac12\cdot\tfrac23 =\tfrac{1}{9}.

Passo 3

Como X=2H-3, associamos cada H a um valor de X:
H=0\mapsto X=-3,\quad H=1\mapsto X=-1,\quad H=2\mapsto X=1,\quad H=3\mapsto X=3.
Logo a função de probabilidade de X é
P(X=-3)=\tfrac{1}{9},\quad P(X=-1)=\tfrac{7}{18},\quad P(X=1)=\tfrac{7}{18},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{9}.

Passo 4

A função de distribuição acumulada F_X(x)=P(X\le x) fica, em trechos:
Para x< -3:
F_X(x)=0.
Para -3 \le x < -1:
F_X(x)=P(X=-3)=\tfrac{1}{9}.
Para -1 \le x < 1:
F_X(x)=P(X=-3)+P(X=-1)=\tfrac{1}{9}+\tfrac{7}{18}=\tfrac{1}{2}.
Para 1 \le x < 3:
F_X(x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{18}=\tfrac{8}{9}.
Para x\ge 3:
F_X(x)=1.

Passo 5

Usamos X=2H-3. Como E(H)=\sum p_i=1/3+1/2+2/3=3/2,
E(X)=2E(H)-3=2\cdot\tfrac{3}{2}-3=0.
Para a variância, primeiro
\displaystyle \mathrm{Var}(H)=\sum p_i(1-p_i) =\tfrac{2}{9}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{9} =\tfrac{25}{36}.
Então
\mathrm{Var}(X)=4\,\mathrm{Var}(H)=4\cdot\tfrac{25}{36}=\tfrac{25}{9},
e o desvio padrão
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\tfrac{5}{3}.

Resposta

(a)
P(X=-3)=\tfrac{1}{9},\quad P(X=-1)=\tfrac{7}{18},\quad P(X=1)=\tfrac{7}{18},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{9}.
(b)
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x< -3,\\[6pt] \tfrac{1}{9}, & -3\le x< -1,\\[6pt] \tfrac{1}{2}, & -1\le x< 1,\\[6pt] \tfrac{8}{9}, & 1\le x< 3,\\[6pt] 1, & x\ge 3, \end{cases} \quad E(X)=0,\quad \mathrm{Var}(X)=\tfrac{25}{9},\quad \sigma=\tfrac{5}{3}.]

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