Uma fábrica produz válvulas de forma independente, das quais 20 \% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas com dez peças. Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu preço de venda é \mathrm{R} \ 10,00 ; tendo uma, o preço éçé\mathrm{R} $8,00 ; duas ou três, o preço éêçé\mathrm{R} $ 6,00 ; mais do que três, o preço éêçé\mathrm{R} $2,00 . a) Seja \(X\) uma variável aleatória que conta o número de válvulas defeituosas em uma caixa com dez peças. Qual a distribuição de probabilidade. Justifique a resposta. b) Utilizando a distribuição do item \(a\), determine a função de probabilidade do preço de venda. (Resposta parcial: 0,\(1074 ; 0,2684 ; 0,5033\) e 0,1209 ) c) Qual o preço médio de uma caixa? (Resposta: R \(\\) 6,4828 )

Passo 1

O enunciado define X como o número de válvulas defeituosas em uma caixa com dez peças, sabendo que cada válvula é defeituosa com probabilidade 0,2 de forma independente. Precisamos (a) identificar a distribuição de X, (b) obter a função de probabilidade do preço de venda Y em função de X, e (c) calcular o preço médio E[Y].

Passo 2

Como há n=10 ensaios independentes com sucesso (“defeito”) de probabilidade p=0,2, X segue uma distribuição binomial. Em particular,
P(X=k) \;=\;\binom{10}{k}\,(0,2)^k\,(0,8)^{10-k},
para k=0,1,\dots,10.

Passo 3

Calculamos as probabilidades das categorias que determinam o preço: P(X=0)=(0,8)^{10}\approx0,1074, P(X=1)=10\cdot0,2\cdot(0,8)^9\approx0,2684, P(2\le X\le3)=\sum_{k=2}^{3}\binom{10}{k}(0,2)^k(0,8)^{10-k}\approx0,5033, P(X\ge4)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(2\le X\le3)\bigr]\approx0,1209.

Passo 4

Definindo Y como o preço de venda da caixa,
se X=0 então Y=10,
se X=1 então Y=8,
se X\in\{2,3\} então Y=6,
se X\ge4 então Y=2.
Logo a função de probabilidade de Y é
p_Y(y)= \begin{cases} 0,1074,&y=10,\\\\ 0,2684,&y=8,\\\\ 0,5033,&y=6,\\\\ 0,1209,&y=2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

O preço médio é
E[Y] =10\cdot0,1074+8\cdot0,2684+6\cdot0,5033+2\cdot0,1209 \approx6,4828.

Resposta

a) X\sim\mathrm{Binomial}(10,0,2).
b) p_Y(y) conforme listado:
p_Y(10)=0,1074,\quad p_Y(8)=0,2684,\quad p_Y(6)=0,5033,\quad p_Y(2)=0,1209.
c) E[Y]\approx R\$\,6,4828.

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