Uma fábrica produz válvulas de forma independente, das quais 20 \% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas com dez peças. Se uma caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu preço de venda é \mathrm{R} \ 10,00; tendo uma, o preço é\mathrm{R} $8,00; duas ou três, o preço é\mathrm{R} $ 6,00; mais do que três, o preço é\mathrm{R} $2,00.
a) Seja \(X\) uma variável aleatória que conta o número de válvulas defeituosas em uma caixa com dez peças. Qual a distribuição de probabilidade. Justifique a resposta.
b) Utilizando a distribuição do item \(a\), determine a função de probabilidade do preço de venda. (Resposta parcial: 0,\(1074 ; 0,2684 ; 0,5033\) e 0,1209 )
c) Qual o preço médio de uma caixa? (Resposta: R \(\\) 6,4828 )
Passo 1
O enunciado define X como o número de válvulas defeituosas em uma caixa com dez peças, sabendo que cada válvula é defeituosa com probabilidade 0,2 de forma independente. Precisamos (a) identificar a distribuição de X, (b) obter a função de probabilidade do preço de venda Y em função de X, e (c) calcular o preço médio E[Y].
Passo 2
Como há n=10 ensaios independentes com sucesso (“defeito”) de probabilidade p=0,2, X segue uma distribuição binomial. Em particular,
P(X=k) \;=\;\binom{10}{k}\,(0,2)^k\,(0,8)^{10-k},
para k=0,1,\dots,10.
Passo 3
Calculamos as probabilidades das categorias que determinam o preço: P(X=0)=(0,8)^{10}\approx0,1074, P(X=1)=10\cdot0,2\cdot(0,8)^9\approx0,2684, P(2\le X\le3)=\sum_{k=2}^{3}\binom{10}{k}(0,2)^k(0,8)^{10-k}\approx0,5033, P(X\ge4)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(2\le X\le3)\bigr]\approx0,1209.
Passo 4
Definindo Y como o preço de venda da caixa,
se X=0 então Y=10,
se X=1 então Y=8,
se X\in\{2,3\} então Y=6,
se X\ge4 então Y=2.
Logo a função de probabilidade de Y é