Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a correte i se a corrente inicial é zero. L.di/dt
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bateria de 12 volts conectada a um circuito série que possui uma indutância de ½ henry e uma resistência de 10 ohms. A gente precisa encontrar a corrente
no circuito sabendo que a corrente inicial é zero. Para isso, vamos usar a equação diferencial que relaciona indutância, resistência e a fonte de tensão:
Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo indutância e resistência, e resolver uma equação diferencial de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
-
-
-
(como a bateria é constante) - Condição inicial:
Passo 3
A equação que vamos resolver é:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Onde
. Então:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Então, a expressão da corrente é:
Resposta
A corrente no circuito é dada por: