Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2 henry e a resistência, 10 ohms. Determine a correte i se a corrente inicial é zero. L.di/dt + Ri = E(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma bateria de 12 volts conectada a um circuito série que possui uma indutância de ½ henry e uma resistência de 10 ohms. A gente precisa encontrar a corrente no circuito sabendo que a corrente inicial é zero. Para isso, vamos usar a equação diferencial que relaciona indutância, resistência e a fonte de tensão:
Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo indutância e resistência, e resolver uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • (como a bateria é constante)
  • Condição inicial:

Passo 3

A equação que vamos resolver é:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Onde . Então:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação ao tempo :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Então, a expressão da corrente é:

Resposta

A corrente no circuito é dada por:

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