Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros cinco termos da sequência
, e também determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites, especialmente como calcular limites de expressões racionais quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os primeiros cinco termos da sequência. Isso significa substituir
por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão
.
Passo 3
Para
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Para
:
Passo 8
Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da expressão
quando
tende ao infinito.
Passo 9
Para encontrar o limite, observamos o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o numerador tem
e o denominador tem
. Quando
cresce muito, os termos com maior potência dominam.
Passo 10
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
À medida que
tende ao infinito,
tende a zero. Então:
E como
tende ao infinito, o limite também tende ao infinito.
Resposta
A sequência
gera os primeiros cinco termos aproximadamente iguais a 0,333; 1,6; 3,857; 7,111 e 11,364. Além disso, a sequência diverge, ou seja, não converge a nenhum limite finito.