Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{n^3 / (2n + 1)}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os primeiros cinco termos da sequência {n^3 / (2n + 1)}_{n=1}^{infinito}, e também determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites, especialmente como calcular limites de expressões racionais quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os primeiros cinco termos da sequência. Isso significa substituir n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão .

Passo 3

Para :

Passo 4

Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Para :

Passo 7

Para :

Passo 8

Agora que temos os cinco primeiros termos, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da expressão quando n tende ao infinito.

Passo 9

Para encontrar o limite, observamos o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o numerador tem n^3 e o denominador tem . Quando n cresce muito, os termos com maior potência dominam.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por n:
À medida que n tende ao infinito, 1/n tende a zero. Então:
E como n^2 tende ao infinito, o limite também tende ao infinito.

Resposta

A sequência {n^3 / (2n + 1)}_{n=1}^{infinito} gera os primeiros cinco termos aproximadamente iguais a 0,333; 1,6; 3,857; 7,111 e 11,364. Além disso, a sequência diverge, ou seja, não converge a nenhum limite finito.

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