Mostre que a probabilidade de a partícula ser encontrada na região classicamente proibida ( x>0 ) pode ser escrita como:
P(x)=D^{*} D e^{-\frac{2 x \sqrt{2 m\left(V_{0}-E\right)}}{\hbar}}

Passo 1

O enunciado pede para obter a forma da densidade de probabilidade
de encontrar a partícula na região classicamente proibida x>0
num potencial de parede em que V(x)=V_{0} para x>0 e E<V_{0}.
O conteúdo que vamos usar é a equação de Schrödinger independente do tempo
e o fato de que, em x>0, a solução é uma onda evanescente que decai.

Passo 2

Na região x>0 a equação de Schrödinger independe do tempo é
-\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{{\rm d}^{2}\psi(x)}{{\rm d}x^{2}} +V_{0}\,\psi(x)=E\,\psi(x).
Rearranjando, obtemos
\frac{{\rm d}^{2}\psi}{{\rm d}x^{2}} =\frac{2m}{\hbar^{2}}\,(V_{0}-E)\,\psi(x).
Definindo
\kappa=\frac{\sqrt{2m\bigl(V_{0}-E\bigr)}}{\hbar}>0,
ficamos com
\frac{{\rm d}^{2}\psi}{{\rm d}x^{2}}=\kappa^{2}\,\psi(x).

Passo 3

A solução geral da equação \psi''=\kappa^{2}\psi é
\psi(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}.
Como a região x>0 é classically proibida, rejeitamos a parte crescente
C\,e^{\kappa x} para manter \psi finita em x\to+\infty.
Portanto
\psi(x)=D\,e^{-\kappa x}.

Passo 4

A densidade de probabilidade é
P(x)=\bigl|\psi(x)\bigr|^{2} =\psi^{*}(x)\,\psi(x) =\bigl(D^{*}D\bigr)\,e^{-2\,\kappa x}.
Substituindo \kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}, obtemos
P(x)=D^{*}D\, \exp\!\Bigl(-\frac{2x\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}\Bigr).

Resposta

P(x)=D^{*}D\, e^{-\frac{2x\sqrt{2m\bigl(V_{0}-E\bigr)}}{\hbar}}.

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