Este valor até onde a partícula pode penetrar a barreira é de extrema importância prática e tecnológica. Mostre que distância \Delta x de penetração na barreira é:
\Delta x=\frac{\hbar}{\sqrt{8 m\left(V_{0}-E\right)}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma barreira de potencial de altura V_{0} e partícula de energia E<V_{0}, a distância \Delta x que a onda penetra na região clássica proibida até que a probabilidade caia a 1/e de seu valor na fronteira é
\Delta x=\frac{\hbar}{\sqrt{8\,m\bigl(V_{0}-E\bigr)}}.
O conteúdo envolve a solução da equação de Schrödinger no interior da barreira e a definição de profundidade de penetração pela queda de 1/e na densidade de probabilidade.

Passo 2

Na região x>0 (barreira), a equação de Schrödinger independente do tempo para partícula de massa m e energia E é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V_{0}\,\psi = E\,\psi,
que rearranjada fica
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \frac{2m}{\hbar^{2}}\bigl(V_{0}-E\bigr)\,\psi.

Passo 3

Como V_{0}-E>0, toda solução no interior da barreira é combinação de exponenciais reais. Definimos
\kappa = \sqrt{\frac{2m\bigl(V_{0}-E\bigr)}{\hbar^{2}}},
e a função de onda decrescente é
\psi(x) = A\,e^{-\kappa x},
pois a parte crescente diverge para x\to+\infty e deve ser descartada.

Passo 4

A densidade de probabilidade é \bigl|\psi(x)\bigr|^{2}=|A|^{2}e^{-2\kappa x}. Definimos a profundidade de penetração \Delta x como a distância tal que
\frac{\bigl|\psi(\Delta x)\bigr|^{2}}{\bigl|\psi(0)\bigr|^{2}} = \frac{1}{e}.
Substituindo, obtemos
\frac{|A|^{2}e^{-2\kappa\,\Delta x}}{|A|^{2}} = e^{-2\kappa\,\Delta x} = \frac{1}{e}.

Passo 5

Da igualdade e^{-2\kappa\,\Delta x}=e^{-1} vem
-2\kappa\,\Delta x = -1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{1}{2\kappa}.

Passo 6

Basta agora substituir \kappa:
\Delta x = \frac{1}{2}\,\frac{1}{\displaystyle\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}} = \frac{1}{2}\,\frac{\hbar}{\sqrt{2m\bigl(V_{0}-E\bigr)}} = \frac{\hbar}{\sqrt{8\,m\bigl(V_{0}-E\bigr)}}.

Resposta

\Delta x = \frac{\hbar}{\sqrt{8\,m\bigl(V_{0}-E\bigr)}}.

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