1. Se A B+B C=0, prove que os vetores O A, O B e O C são linearmente dependentes para qualquer ponto O.

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer pontos A,B,C e um ponto-origem arbitrário O, vale
AB + BC = 0.
Queremos provar que os vetores de posição OA,;OB,;OC são linearmente dependentes.
Lembrando que três vetores u,v,w são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos tais que
alpha,u + beta,v + gamma,w = 0.

Passo 2

Expressamos AB e BC em termos dos vetores de posição a partir de O:
AB = OB - OA
BC = OC - OB

Passo 3

Somando essas duas igualdades, obtemos
AB + BC = (OB - OA) + (OC - OB) = OC - OA

Passo 4

Pela hipótese AB + BC = 0, segue
OC - OA = 0,
isto é,
OC = OA

Passo 5

Da igualdade
OA - OC = 0
vemos que existe combinação linear não trivial
1cdotOA ;+;0cdotOB;+;(-1)cdotOC =0,
logo OA,OB,OC são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores OA,OB,OC são linearmente dependentes.

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