Se , prove que os vetores O A, O B e O C são linearmente dependentes para qualquer ponto O.
Passo 1
O enunciado afirma que, para quaisquer pontos A,B,C e um ponto-origem arbitrário O, vale AB + BC = 0.
Queremos provar que os vetores de posição OA,;OB,;OC são linearmente dependentes.
Lembrando que três vetores u,v,w são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos tais que alpha,u + beta,v + gamma,w = 0.
Passo 2
Expressamos AB e BC em termos dos vetores de posição a partir de O: AB = OB - OA BC = OC - OB
Passo 3
Somando essas duas igualdades, obtemos
AB + BC = (OB - OA) + (OC - OB) = OC - OA
Passo 4
Pela hipótese AB + BC = 0, segue
OC - OA = 0,
isto é, OC = OA
Passo 5
Da igualdade OA - OC = 0
vemos que existe combinação linear não trivial