- Suponha que os vetores
são LI e seja
. Mostre que os vetores
e
são LI se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado trata de dependência linear em um espaço vetorial: temos três vetores
que são LI e definimos
Queremos saber quando os vetores
são LI. Para isso, vamos usar o critério clássico: três vetores são LI se, e somente se, a única combinação linear que dá zero é a trivial.
Passo 2
Expressamos cada vetor na base
. Como
Passo 3
Impondo a combinação linear nula
e substituindo as coordenadas, obtemos o sistema em
:
Passo 4
As matrizes dos coeficientes é
Calculamos o determinante de
M :
Os três vetores são LI exatamente quando
det Mneq0 , ou seja,
Resposta
Os vetores
u+t,;u+v,;w+t são LI se, e somente se,