1. Suponha que os vetores u, v, w são LI e seja t=a u+b v+c w. Mostre que os vetores u+t, u+v e w+t são LI se, e somente se, a+b+c neq-1.

Passo 1

O enunciado trata de dependência linear em um espaço vetorial: temos três vetores ,u,v,w que são LI e definimos
t = a,u + b,v + c,w
Queremos saber quando os vetores
u+t, u+v, w+t
são LI. Para isso, vamos usar o critério clássico: três vetores são LI se, e somente se, a única combinação linear que dá zero é a trivial.

Passo 2

Expressamos cada vetor na base u,v,w. Como
u + t = u + (a,u + b,v + c,w) = (1+a),u ;+; b,v ;+; c,w,
u + v = 1cdot u ;+;1cdot v ;+;0cdot w,
w + t = (a,u + b,v + c,w) + w = a,u ;+; b,v ;+;(1+c),w

Passo 3

Impondo a combinação linear nula
alpha,(u+t);+;beta,(u+v);+;gamma,(w+t);=;0,
e substituindo as coordenadas, obtemos o sistema em alpha,beta,gamma:
(1+a),alpha ;+;1,beta ;+;a,gamma = 0, b,alpha ;+;1,beta ;+;b,gamma = 0, c,alpha ;+;0,beta ;+;(1+c),gamma = 0

Passo 4

As matrizes dos coeficientes é
M = 1+a & 1 & a[6pt] b & 1 & b[3pt] c & 0 & 1+c
Calculamos o determinante de M:
det M = (1+a),(1cdot(1+c)-0cdot b);-;1,(bcdot(1+c)-bcdot c);+;a,(bcdot0-1cdot c)
= (1+a)(1+c);-;b(1+c);-;a,c = 1 + a + c - b
Os três vetores são LI exatamente quando det Mneq0, ou seja,
1 + a + c - b ;neq; 0 Long<=ftrightarrow a - b + c ;neq;-1 ]

Resposta

Os vetores u+t,;u+v,;w+t são LI se, e somente se,
a - b + c ;neq;-1

Exercícios relacionados