1. Suponha que os vetores u, v, w são LI. Mostre que os vetores u+v,-u-v+w e u+v+w também são LI.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, a partir de três vetores independentes ,u,v,w, os vetores
a = u+v, b = -u - v + w, c = u+v+w
também formam um conjunto linearmente independente. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação linear alpha a + beta b + gamma c = 0 só pode ter solução trivial alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação
alpha(u+v) + beta(-u-v+w) + gamma(u+v+w) = 0
Nosso objetivo é ver se desse sistema sai apenas alpha=beta=gamma=0 ou se aparece outra solução.

Passo 3

Vamos expandir e agrupar pelos vetores u,v,w:
alpha u + alpha v ;+;l(-beta u - beta v + beta wr);+;l(gamma u + gamma v + gamma wr)=0
Logo os coeficientes são
(alpha - beta + gamma),u ;+;(alpha - beta + gamma),v ;+;(beta + gamma),w ;=;0

Passo 4

Como
Das duas primeiras vem a mesma equação, e da última . Se escolhermos obtemos uma combinação não trivial que zera .

Passo 5

Encontramos solução não trivial, logo a,b,c são linearmente dependentes, e não independentes. A afirmação de que esses vetores seriam LI é falsa.

Resposta

Os vetores u+v,;-u-v+w e u+v+w são linearmente dependentes, portanto não são LI.

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