- Suponha que os vetores
são LI. Mostre que os vetores
também são LI.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, a partir de três vetores independentes
, os vetores
também formam um conjunto linearmente independente. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação linear
só pode ter solução trivial
.
Passo 2
Suponha que exista uma combinação
Nosso objetivo é ver se desse sistema sai apenas
ou se aparece outra solução.
Passo 3
Vamos expandir e agrupar pelos vetores
:
Logo os coeficientes são
Passo 4
Como
Das duas primeiras vem a mesma equação, e da última . Se escolhermos
obtemos uma combinação não trivial que zera
.
Passo 5
Encontramos solução não trivial, logo
são linearmente dependentes, e não independentes. A afirmação de que esses vetores seriam LI é falsa.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes, portanto não são LI.