d/dt | u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 |
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de um determinante que depende do tempo . Estamos trabalhando com cálculo diferencial aplicado a determinantes de matrizes que têm entradas que variam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar determinantes e entender como as derivadas das linhas (ou colunas) afetam o determinante total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou co-fatores, mas o importante aqui é saber que o determinante é uma função que retorna um número a partir de uma matriz quadrada.
No nosso caso, a matriz tem entradas que são funções do tempo , ou seja, , e . Queremos descobrir como esse número muda quando varia, ou seja, queremos a derivada do determinante em relação a .

Passo 3

Para derivar o determinante de uma matriz cujas entradas dependem de , usamos uma regra semelhante à derivada de produtos. A derivada do determinante será a soma das derivadas considerando que cada linha (ou coluna) está mudando com o tempo, uma de cada vez, enquanto as outras permanecem constantes.
Isso significa que:

Passo 4

Vamos detalhar cada termo:
  1. Primeiro determinante: Aqui, apenas a primeira linha está derivada ( ), enquanto as outras linhas e permanecem constantes.
  2. Segundo determinante: Agora, só a segunda linha está derivada ( ), e as linhas e ficam fixas.
  3. Terceiro determinante: Por fim, apenas a terceira linha está derivada ( ), com as linhas e inalteradas.
Cada um desses termos representa como o determinante muda quando apenas uma das linhas da matriz está variando com o tempo.

Passo 5

Ao somar todos esses determinantes, obtemos a derivada total do determinante original em relação ao tempo . Isso leva em conta todas as maneiras pelas quais as entradas da matriz podem estar mudando.

Resposta

A derivada do determinante em relação ao tempo é:

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