Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de um determinante que depende do tempo . Estamos trabalhando com cálculo diferencial aplicado a determinantes de matrizes que têm entradas que variam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar determinantes e entender como as derivadas das linhas (ou colunas) afetam o determinante total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou co-fatores, mas o importante aqui é saber que o determinante é uma função que retorna um número a partir de uma matriz quadrada.
No nosso caso, a matriz tem entradas que são funções do tempo , ou seja, , e . Queremos descobrir como esse número muda quando varia, ou seja, queremos a derivada do determinante em relação a .
Passo 3
Para derivar o determinante de uma matriz cujas entradas dependem de , usamos uma regra semelhante à derivada de produtos. A derivada do determinante será a soma das derivadas considerando que cada linha (ou coluna) está mudando com o tempo, uma de cada vez, enquanto as outras permanecem constantes.
Isso significa que:
Passo 4
Vamos detalhar cada termo:
Primeiro determinante: Aqui, apenas a primeira linha está derivada (), enquanto as outras linhas e permanecem constantes.
Segundo determinante: Agora, só a segunda linha está derivada (), e as linhas e ficam fixas.
Terceiro determinante: Por fim, apenas a terceira linha está derivada (), com as linhas e inalteradas.
Cada um desses termos representa como o determinante muda quando apenas uma das linhas da matriz está variando com o tempo.
Passo 5
Ao somar todos esses determinantes, obtemos a derivada total do determinante original em relação ao tempo . Isso leva em conta todas as maneiras pelas quais as entradas da matriz podem estar mudando.