Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função usando diferenciação logarítmica. A função é:
Vamos precisar de conhecimentos de diferenciação logarítmica, propriedades de logaritmos, e regras de derivação para funções compostas, produtos e quocientes.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar a diferenciação. Isso faz parte da diferenciação logarítmica, que facilita o cálculo da derivada de funções complicadas.
Passo 3
Usamos a propriedade dos logaritmos que transforma o produto em soma:
Passo 4
Simplificamos cada termo:
Sabemos que e , onde A é a expressão dentro da raiz.
Portanto:
Passo 5
Aplicamos a propriedade dos logaritmos para a divisão dentro do logaritmo:
Passo 6
Usamos a propriedade que para simplificar os expoentes:
Passo 7
Agora, derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que .
Passo 8
Isolamos multiplicando ambos os lados por y:
Passo 9
Finalmente, substituímos y pela expressão original para obter a derivada completa: