Utilizando diferenciação logarítmica, determine a derivada de cada função:
y = e^(x^3) * raiz( (sen(x) * (1 + x^3)^4) / ((3x - 2)^2 * (x^5 - 3x)^3) )^(1/5)

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função usando diferenciação logarítmica. A função é:
Vamos precisar de conhecimentos de diferenciação logarítmica, propriedades de logaritmos, e regras de derivação para funções compostas, produtos e quocientes.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar a diferenciação. Isso faz parte da diferenciação logarítmica, que facilita o cálculo da derivada de funções complicadas.

Passo 3

Usamos a propriedade dos logaritmos que transforma o produto em soma:

Passo 4

Simplificamos cada termo:
Sabemos que e , onde A é a expressão dentro da raiz.
Portanto:

Passo 5

Aplicamos a propriedade dos logaritmos para a divisão dentro do logaritmo:

Passo 6

Usamos a propriedade que para simplificar os expoentes:

Passo 7

Agora, derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que .

Passo 8

Isolamos multiplicando ambos os lados por y:

Passo 9

Finalmente, substituímos y pela expressão original para obter a derivada completa:

Resposta

A derivada da função é:

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