Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais das funções:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar as assíntotas horizontais e/ou verticais da função
. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional (que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração se aproxima de zero, mas o numerador não se anula ao mesmo tempo. Isso faz com que a função “exploda” para mais ou menos infinito nesses pontos.
Passo 3
Então, vamos encontrar onde o denominador
é igual a zero:
Resolvendo:
Aqui, vemos que quando
, o denominador é zero. Agora, verificamos o numerador para ter certeza de que não é também zero nesse ponto:
Como o numerador não é zero quando
, isso confirma que temos uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito. Para encontrá-las, comparamos os graus (os expoentes mais altos) do polinômio no numerador e no denominador.
Passo 5
Na nossa função
, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais (os números que estão na frente dos termos de maior grau).
Passo 6
O coeficiente principal do numerador é 2 (de
) e do denominador é 1 (de
, já que
). Então, a assíntota horizontal é:
Portanto, temos uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.