Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais das funções: f(x)=(2x^2-6)/((x-1)^2) y=2 e x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar as assíntotas horizontais e/ou verticais da função . Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional (que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração se aproxima de zero, mas o numerador não se anula ao mesmo tempo. Isso faz com que a função “exploda” para mais ou menos infinito nesses pontos.

Passo 3

Então, vamos encontrar onde o denominador é igual a zero:
Resolvendo:
Aqui, vemos que quando , o denominador é zero. Agora, verificamos o numerador para ter certeza de que não é também zero nesse ponto:
Como o numerador não é zero quando , isso confirma que temos uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Para encontrá-las, comparamos os graus (os expoentes mais altos) do polinômio no numerador e no denominador.

Passo 5

Na nossa função , tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais (os números que estão na frente dos termos de maior grau).

Passo 6

O coeficiente principal do numerador é 2 (de ) e do denominador é 1 (de , já que ). Então, a assíntota horizontal é:
Portanto, temos uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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