Determine a derivada de cada função:
y = arctg(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e funções inversas, além de aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função que temos é composta: temos a função arctangente ( ) aplicada à função seno ( ). Quando temos uma função dentro de outra, usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se temos uma função , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que derivamos a função externa em relação à função interna e depois multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 4

No nosso caso, e . Vamos derivar cada uma dessas partes:
Primeiro, derivada de :
Depois, derivada de :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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