O enunciado pede as primitivas das oito funções indicadas. O conteúdo envolve: a regra da potência para \int x^{\alpha}\mathrm{d}x, o caso especial \int x^{-1}\mathrm{d}x, integrais de funções racionais que geram arctangente, integrais de funções com raiz quadrada que geram arcoseno, e integrais por partes para x^{2}\sin x e \ln x.
Passo 2
Para \int x^{\alpha}\mathrm{d}x com \alpha\neq -1 usamos a regra da potência, e o caso \int x^{-1}\mathrm{d}x é logarítmico:
As integrais \displaystyle \int\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x
e \displaystyle \int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}\mathrm{d}x
são padrões de arctangente, sendo necessário apenas ajustar por constantes:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C, \quad \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.
Passo 4
A integral \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x
é o padrão de arco-seno:
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x + C.
Passo 5
Para \displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm{d}x usamos integração por partes duas vezes. Tomando u=x^{2}, \mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x, obtém-se
\int x^{2}\sin x\,\mathrm{d}x = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,\mathrm{d}x = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.
Passo 6
Para \displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d}x também usamos partes com u=\ln x, \mathrm{d}v=\mathrm{d}x:
\int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C.