\begin{array}{rrrr} \int x^{\alpha} \mathrm{d} x(\alpha \neq-1), & \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x, & \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, & \int\left(a^{2}+x^{2}\right)^{-1} \mathrm{~d} x \\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x, & \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x, & \int x^{2} \sin x \mathrm{~d} x, & \int \ln x \mathrm{~d} x \end{array}

Passo 1

O enunciado pede as primitivas das oito funções indicadas. O conteúdo envolve: a regra da potência para \int x^{\alpha}\mathrm{d}x, o caso especial \int x^{-1}\mathrm{d}x, integrais de funções racionais que geram arctangente, integrais de funções com raiz quadrada que geram arcoseno, e integrais por partes para x^{2}\sin x e \ln x.

Passo 2

Para \int x^{\alpha}\mathrm{d}x com \alpha\neq -1 usamos a regra da potência, e o caso \int x^{-1}\mathrm{d}x é logarítmico:
\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C, \quad \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 3

As integrais \displaystyle \int\frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x
e \displaystyle \int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}\mathrm{d}x
são padrões de arctangente, sendo necessário apenas ajustar por constantes:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \arctan x + C, \quad \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C.

Passo 4

A integral \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x
é o padrão de arco-seno:
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x = \arcsin x + C.

Passo 5

Para \displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm{d}x usamos integração por partes duas vezes. Tomando u=x^{2}, \mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x, obtém-se
\int x^{2}\sin x\,\mathrm{d}x = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,\mathrm{d}x = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.

Passo 6

Para \displaystyle \int \ln x\,\mathrm{d}x também usamos partes com u=\ln x, \mathrm{d}v=\mathrm{d}x:
\int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C.

Resposta

\int x^{\alpha}\mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C,
\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \ln\bigl|x\bigr| + C,
\int \frac{1}{1+x^{2}}\mathrm{d}x = \arctan x + C,
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) + C,
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\mathrm{d}x = \arcsin x + C,
\int x^{2}\sin x\,\mathrm{d}x = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C,
\int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C.

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