Desafio: Use recursivamente a regra de derivação para o produto de duas funções e estabeleça uma fórmula para a enésima derivada do produto de duas funções.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula da
-ésima derivada do produto de duas funções
e
. O conteúdo é a regra do produto (para derivadas) e vamos usar indução no número de derivadas para chegar à fórmula geral, conhecida como fórmula de Leibniz.
Passo 2
Verificamos o caso base
. A derivada primeira de
é, pela regra do produto,
Isto coincide com
ou seja,
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Suponha que para algum
valha
Vamos derivar ambos os lados para obter
.
Passo 4
Derivando o lado direito termo a termo, usando regra do produto em cada
,
Passo 5
Separamos a soma em duas e reindexamos:
Somando-as,
Usando a identidade dos binomiais
, obtemos
Assim a fórmula vale para
.