Desafio: Use recursivamente a regra de derivação para o produto de duas funções e estabeleça uma fórmula para a enésima derivada do produto de duas funções.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima derivada do produto de duas funções f e g. O conteúdo é a regra do produto (para derivadas) e vamos usar indução no número de derivadas para chegar à fórmula geral, conhecida como fórmula de Leibniz.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. A derivada primeira de f\cdot g é, pela regra do produto,
(fg)' = f'\,g + f\,g'.
Isto coincide com
\sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k} f^{(k)}\,g^{(1-k)} = \binom{1}{0}f^{(0)}g^{(1)} + \binom{1}{1}f^{(1)}g^{(0)},
ou seja,
f\,g' + f'\,g.
Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Suponha que para algum n\ge1 valha
(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}\,g^{(n-k)}.
Vamos derivar ambos os lados para obter (fg)^{(n+1)}.

Passo 4

Derivando o lado direito termo a termo, usando regra do produto em cada f^{(k)}\,g^{(n-k)},
(fg)^{(n+1)} =\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\bigl(f^{(k+1)}\,g^{(n-k)} + f^{(k)}\,g^{(n-k+1)}\bigr).

Passo 5

Separamos a soma em duas e reindexamos:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)} =\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(k)}g^{(n+1-k)},
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k+1)} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}.
Somando-as,
(fg)^{(n+1)} =\sum_{k=1}^{n}\Bigl[\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\Bigr]f^{(k)}g^{(n+1-k)} +\binom{n}{n}f^{(n+1)}g^{(0)}+\binom{n}{0}f^{(0)}g^{(n+1)}.
Usando a identidade dos binomiais \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}, obtemos
(fg)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}.
Assim a fórmula vale para n+1.

Resposta

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,f^{(k)}\,g^{(n-k)}.

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