- Enuncie e prove o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
O enunciado pede para a gente “enunciar e provar o Teorema Fundamental do Cálculo”. O conteúdo que precisamos envolve:
- Definição de integral definida
, - Noções de continuidade e derivada,
- Teorema do Valor Médio para integrais (ou para funções contínuas em um intervalo),
- Propriedades de antiderivadas.
Passo 2
Enunciação – Parte 1
Seja contínua. Defina
Seja
Então
é diferenciável em
e
Passo 3
Prova da Parte 1
Para mostrar que , use a definição de derivada:
Para mostrar que
Como
é contínua em
, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que
Logo
e, fazendo
, tem
e por continuidade de
vem
Passo 4
Enunciação – Parte 2
Suponha agora que exista uma função diferenciável em
tal que
Suponha agora que exista uma função
Então
Passo 5
Prova da Parte 2
Defina a função auxiliar
Defina a função auxiliar
Pela Parte 1,
. Como também
, as derivadas de
e
coincidem em
. Logo a diferença
é constante. Em particular, para
e
:
Mas
. Desse modo
como queríamos.
Resposta
Seja
contínua. Então vale: