f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x+2} & \text { se } x \neq-2 \\\\ 1 & \text { se } x=-2\end{cases} a=-2

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x+2},&\text{se }x\neq -2,\\[6pt] 1,&\text{se }x=-2 \end{cases}
e destaca o ponto a=-2. O que vamos precisar aqui é calcular
\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)
e comparar esse limite com o valor f(-2) para decidir se f é contínua em a=-2.]

Passo 2

Para x\neq -2, f(x)=\frac{1}{x+2}. Ao nos aproximarmos de -2 pela direita ( x\to -2^+) e pela esquerda ( x\to -2^-), temos
\lim_{x\to -2^+}\frac{1}{x+2} =+\infty, \qquad \lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x+2} =-\infty.
Portanto o limite bilateral
\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)
não existe (há comportamento de assimptota vertical).

Passo 3

O valor da função em a=-2 é dado por definição como
f(-2)=1.
Mesmo que tivéssemos um limite finito, ele nem se igualaria a 1.

Passo 4

Como
\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x)
não existe e, além disso, não coincide com f(-2), concluímos que f não é contínua em x=-2.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to -2}f(x) não existe (tende a \pm\infty).
– A função f é descontínua em x=-2 (discontinuidade do tipo infinita).

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