Estude as integrais a seguir quanto a sua convergência.
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x}\,dx
ou seja, precisamos verificar se esse integral converge ou diverge quando os limites vão a -\infty e +\infty. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e seus critérios de convergência.

Passo 2

Para tratar a integral imprópria, dividimos o intervalo em duas partes e introduzimos limites:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x}\,dx = \int_{-\infty}^{0} e^{-x}\,dx \;+\;\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Definimos
I_1 = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} e^{-x}\,dx, \quad I_2 = \lim_{b\to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-x}\,dx.

Passo 3

Calculando I_2:
\int_{0}^{b} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{b} = -e^{-b} - \bigl(-e^{0}\bigr) = 1 - e^{-b},
então
I_2 = \lim_{b\to+\infty} \bigl(1 - e^{-b}\bigr) = 1.
Logo, essa parte converge.
Calculando I_1:
\int_{a}^{0} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{a}^{0} = -e^{0} - \bigl(-e^{-a}\bigr) = -1 + e^{-a},
e portanto
I_1 = \lim_{a\to -\infty} \bigl(-1 + e^{-a}\bigr) = \lim_{a\to -\infty} \bigl(-1 + e^{+\infty}\bigr) = +\infty.
Essa parte diverge.

Passo 4

Como uma das parcelas I_1 diverge, a integral total \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x}\,dx não converge.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados