f(x)= \begin{cases}e^{x} & \text { se } x<0 \\\ x^{2} & \text { se } x \geqslant 0\end{cases} a=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} e^{x},&\text{se }x<0,\\\ x^{2},&\text{se }x\ge0, \end{cases}
e pede para analisar em a=0 se f é contínua e derivável. Para isso, vamos usar as definições de limite, continuidade e derivada em ponto.

Passo 2

Calcular o limite lateral pela esquerda em x\to0^-. Como para x<0 vale f(x)=e^{x}, temos
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}e^{x} =e^{0} =1.

Passo 3

Calcular o limite lateral pela direita em x\to0^+. Como para x\ge0 vale f(x)=x^{2}, temos
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}x^{2} =0^{2} =0.

Passo 4

Comparar os limites laterais. Obtivemos
\lim_{x\to0^-}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=0.
Como esses valores não coincidem, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe. Logo, f não é contínua em x=0.

Passo 5

Concluir sobre derivabilidade. Se f não é contínua em x=0, ela também não pode ser derivável ali, pois derivabilidade implica continuidade. Portanto, f não é derivável em 0.

Resposta

A função não é contínua em a=0 (há descontinuidade de salto) e, consequentemente, não é derivável em 0.

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