Passo 1
O enunciado define a função
e pede para analisar em
se
é contínua e derivável. Para isso, vamos usar as definições de limite, continuidade e derivada em ponto.
Passo 2
Calcular o limite lateral pela esquerda em
. Como para
vale
, temos
Passo 3
Calcular o limite lateral pela direita em
. Como para
vale
, temos
Passo 4
Comparar os limites laterais. Obtivemos
Como esses valores não coincidem, o limite
não existe. Logo,
não é contínua em
.
Passo 5
Concluir sobre derivabilidade. Se
não é contínua em
, ela também não pode ser derivável ali, pois derivabilidade implica continuidade. Portanto,
não é derivável em
.
Resposta
A função não é contínua em
(há descontinuidade de salto) e, consequentemente, não é derivável em
.