Calcule.
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x-1}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potência de termo linear, e vamos usar a substituição u = x - 1 para simplificar o radical.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1, \quad du = dx.
Quando x=1, u=0. Quando x=4, u=3. A integral passa a ser
\int_{u=0}^{u=3} \frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \int_{0}^{3} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Para integrar u^{-\tfrac12}, usamos a regra de potência:
\int u^{m}\,du = \frac{u^{m+1}}{m+1}, \quad m \neq -1.
Aqui m = -\tfrac12, logo
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.

Passo 4

Agora avaliamos o resultado de 0 a 3:
\Bigl[2\,u^{\tfrac12}\Bigr]_{0}^{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{0} = 2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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