Nos Problemas 11-18, use o Teorema 7.2 para calcular
.
Passo 1
Enunciado: calcular
onde
.
Informações dadas e pedido: temos a função para
(pressuposto usual) e devemos obter sua transformada de Laplace usando o Teorema 7.2. Não há outras informações no enunciado.
Informações dadas e pedido: temos a função
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace: para uma função
(bem comportada) definimos
onde
é a variável de tempo e
é a variável complexa da transformada. Essa integral converge somente para valores de
em que a integral seja finita — normalmente escrevemos a condição de convergência junto com o resultado.
Passo 3
Vou usar o Teorema 7.2 (teorema do deslocamento/exponencial): se
então, para qualquer constante
,
Explicação rápida de por que isso vale: substituindo na definição,
que é exatamente
.
Passo 4
Simplifico a função dada:
. Aqui
é constante (independe de
), então pela propriedade de linearidade da transformada podemos puxá-la para fora:
Passo 5
Agora aplico o Teorema 7.2 com
e
. Primeiro calculo a transformada de
:
que converge para
. Chamando isso de
.
Passo 6
Pelo Teorema 7.2,
e a condição de convergência desloca-se para
, ou seja
.
Passo 7
Voltando ao fator
do Passo 4, obtenho
com região de convergência
. (Para checar, pode-se também fazer a integral direta:
para
.)