Nos Problemas 11-18, use o Teorema 7.2 para calcular \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}.
f(t)=e^{t+7}

Passo 1

Enunciado: calcular \mathscr{L}\{f(t)\} onde f(t)=e^{t+7}.
Informações dadas e pedido: temos a função f(t)=e^{t+7} para t\ge 0 (pressuposto usual) e devemos obter sua transformada de Laplace usando o Teorema 7.2. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Lembrete da definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) (bem comportada) definimos
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt,
onde t é a variável de tempo e s é a variável complexa da transformada. Essa integral converge somente para valores de s em que a integral seja finita — normalmente escrevemos a condição de convergência junto com o resultado.

Passo 3

Vou usar o Teorema 7.2 (teorema do deslocamento/exponencial): se H(s)=\mathscr{L}\{h(t)\}(s) então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{at}h(t)\}(s)=H(s-a).
Explicação rápida de por que isso vale: substituindo na definição,
\mathscr{L}\{e^{at}h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}h(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}h(t)\,dt,
que é exatamente H(s-a).

Passo 4

Simplifico a função dada: f(t)=e^{t+7}=e^{7}\,e^{t}. Aqui e^{7} é constante (independe de t), então pela propriedade de linearidade da transformada podemos puxá-la para fora:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=e^{7}\,\mathscr{L}\{e^{t}\}(s).

Passo 5

Agora aplico o Teorema 7.2 com h(t)=1 e a=1. Primeiro calculo a transformada de h(t)=1:
\mathscr{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s},
que converge para \operatorname{Re}(s)>0. Chamando isso de H(s)=\dfrac{1}{s}.

Passo 6

Pelo Teorema 7.2,
\mathscr{L}\{e^{t}\}(s)=H(s-1)=\frac{1}{s-1},
e a condição de convergência desloca-se para \operatorname{Re}(s-1)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 7

Voltando ao fator e^{7} do Passo 4, obtenho
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=e^{7}\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{e^{7}}{s-1},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>1. (Para checar, pode-se também fazer a integral direta: e^{7}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}dt=e^{7}/(s-1) para \operatorname{Re}(s)>1.)

Resposta

\displaystyle \frac{e^{7}}{s-1},\; \operatorname{Re}(s)>1

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