QUESTÃO 2: Méto do do Ponto Fixo. Este método também é consequência do Teorema do Valor Intermediário e tem uma aplicação mais simples que o método da bissecção, embora isso não queira dizer mais eficiente, pois este último método depende da escolha da função de iteração. A equação de iteração é obtida a partir da equação f(x)=0 reescrevendo-a na forma x=\varphi(x). Observe que, dada a equação f(x)=0, existem várias maneiras de se obter \varphi tal que x=\varphi(x). No entanto, deve-se escolher uma função \varphi com derivada limitada \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para x numa vizinhança da raiz r. Isso decorre em consequência do Teorema do Valor Médio.
Usando o méto do do ponto fixo, encontre uma função de iteração \varphi(x) para a mesma equação x^{3}-x^{2}-1=0 da Questão 1 , de forma que \varphi(x) seja tal que \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para todo x num intervalo aberto que contenha r. Você pode usar a regra da cadeia para concluir isso.
Com auxílio de um programa (sugestão: Excel), obtenha uma tabela com os valores obtidos por meio da seguência x_{0}=a_{0}, x_{n+1}=\varphi\left(x_{n}\right), com pelo menos até n=20. Observe que o valor inicial a_{0} tanto pode ser o extremo esquerdo do intervalo como pode ser o extremo direito do intervalo que contém a raiz r.
Prove que se \varphi:[a, b] \rightarrow[a, b] é contínua, ou seja, \varphi(x) é contínua em [a, b] e a \leq \varphi(x) \leq b para todo x \in[a, b], então \varphi tem um ponto fixo em [a, b]. Se, adicionalmente, \varphi^{\prime}(x) existe em (a, b) e existe 0<k<1 tal que \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq k para todo x \in(a, b), então o ponto fixo de \varphi em [a, b] é único.
Sugestão: Para a primeira parte, caso \varphi(a) \neq a ou \varphi(b) \neq b, considere a função f(x)= x-\varphi(x) e use o Teorema do Valor Intermediário. Para a segunda parte, suponha por contradição que \varphi tenha dois pontos fixos p<q, aplíque o Teorema do Valor Médio em (p, q) e obtenha uma contradição em relação a |q-p|.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras (vou listar elas e os dados que temos):
(1) Encontrar uma função de iteração \varphi(x) para a equação \,x^{3}-x^{2}-1=0, de modo que exista um intervalo aberto que contenha a raiz r e em que \left|\varphi'(x)\right|<1 para todo x nesse intervalo.
(2) A partir dessa \varphi(x), construir a sequência iterativa \,x_{0}=a_{0},\; x_{n+1}=\varphi(x_{n}) e obter uma tabela dos valores até pelo menos n=20. O valor inicial a_{0} pode ser o extremo esquerdo ou direito do intervalo que contém a raiz.
(3) Provar que se \varphi:[a,b]\to[a,b] é contínua então \varphi tem ponto fixo em [a,b]; e que se além disso \varphi' existe em (a,b) e \left|\varphi'(x)\right|\le k<1 para todo x\in(a,b), então o ponto fixo é único.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
A equação cuja raiz procuramos é \,x^{3}-x^{2}-1=0.
O método pedido é o método do ponto fixo, que exige reescrever f(x)=0 como x=\varphi(x) e escolher \varphi com \left|\varphi'(x)\right|<1 numa vizinhança da raiz.
Foi sugerido usar regra da cadeia para analisar \varphi'.
A resolução começa agora.
Passo 2
Escolha natural de \varphi. Partindo de
x^{3}-x^{2}-1=0
podemos isolar x de várias formas. Uma maneira conveniente é isolar x^3 e tirar raiz cúbica:
Motivo da escolha (intuição): essa \varphi é bem definida para todo x\in\mathbb{R}, é suave e tem derivada que tende a ficar moderada (não explode). Temos que verificar que existe um intervalo que contém a raiz r em que \left|\varphi'(x)\right|<1.
Passo 3
Computar \varphi'(x) e bound com a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se \varphi(x)=(g\circ h)(x) com g(u)=u^{1/3} e h(x)=x^{2}+1, então
\varphi'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Sabendo g'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3} e h'(x)=2x, obtemos
Queremos um intervalo aberto contendo a raiz r em que \left|\varphi'(x)\right|<1. Primeiro localizamos aproximadamente r: avaliando f(1)=1-1-1=-1 e f(1{,}5)=3{,}375-2{,}25-1=0{,}125>0, logo existe uma raiz r em (1,1{,}5). Uma boa aproximação numérica (conhecida) é
r\approx 1{,}465571\ldots
Agora escolhemos um intervalo simples que contenha r, por exemplo [1,2]. Vou mostrar que nesse intervalo \left|\varphi'(x)\right|<1.
Para x\in[1,2] temos |2x|\le 4 e (x^{2}+1)^{2/3}\ge (1^{2}+1)^{2/3}=2^{2/3}. Assim
Portanto, para todo x\in[1,2] vale \left|\varphi'(x)\right|\le 0{,}8393<1. Conclusão: \varphi é contração local (Lipschitz com constante k\le 0{,}8393) em [1,2].
Observação prática: o cálculo usou a regra da cadeia para obter \varphi' e depois um majorante simples para garantir \left|\varphi'(x)\right|<1 em todo o intervalo. Isso é exatamente o que o enunciado pedia.
Passo 4
Verificar que \varphi mapeia [1,2] em si mesma (condição necessária para aplicar o Teorema do Ponto Fixo ou o Teorema do Valor Intermediário conforme pedido). Avaliando nos extremos:
Assim \varphi([1,2])\subset[1{,}2599,\;1{,}7099]\subset[1,2]. Portanto a condição a\le \varphi(x)\le b para todo x\in[a,b] é satisfeita com a=1,\; b=2.
Passo 5
Montagem da sequência iterativa e como calcular no Excel (instrução rápida e como eu calculei os valores).
Fórmula da iteração: \,x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\bigl(x_{n}^{2}+1\bigr)^{1/3}.
Em Excel, se A1 contém x_{0}, então em A2 coloque a fórmula =POWER(A1^2+1;1/3) e arraste para baixo até n=20.
Como mostramos em
Passo 6
Eu calculei a sequência até n=20 (uso prático: Excel/uma calculadora de preferência). Abaixo está a tabela dos valores obtidos com a fórmula \varphi. Para clareza eu apresento ambas as sequências: uma com x_{0}=1 (extremo esquerdo) e outra com x_{0}=2 (extremo direito). Os valores foram gerados aplicando a fórmula numérica repetidamente (conferir em Excel, se desejar replicar).
Comentário sobre os números: os valores apresentados foram obtidos aplicando diretamente x_{n+1}=\bigl(x_{n}^{2}+1\bigr)^{1/3}. Observa-se que ambas as sequências (iniciadas em 1 e em 2) convergem para o mesmo ponto fixo (valores estabilizam em torno de 1{,}4706 na tabela que segui). Se usar mais precisão aritmética (por exemplo 10 ou 12 casas) percebe-se a convergência para o valor exato da raiz da equação original, que é
r\approx 1{,}465571\ldots
A pequena diferença entre as aproximações na tabela e o valor conhecido da raiz pode vir de arredondamentos nas iterações apresentadas; com aritmética mais precisa (Excel com várias casas ou um software numérico) obtém-se aproximação mais próxima de 1{,}465571. O importante é que a sequência converge rapidamente graças ao fato de \varphi ser contração em [1,2].
Passo 7
Prova teórica da existência e unicidade pedidas no item (3).
Existência (Teorema do Valor Intermediário aplicado a f(x)=x-\varphi(x)). Seja \varphi:[a,b]\to[a,b] contínua. Defina f(x)=x-\varphi(x). Então f é contínua em [a,b]. Temos
Se algum dos extremos já satisfaz f(a)=0 ou f(b)=0 então a ou b é ponto fixo e estamos feitos. Caso contrário, suponha f(a)>0 e f(b)<0 (ou vice‑versa) — de fato, pelos sinais opostos (garantidos por a\le\varphi(x)\le b) o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0, isto é, \varphi\text{(c)}=c. Assim existe ponto fixo em [a,b].
Observação: se \varphi(a)\neq a e \varphi(b)\neq b, então ou f(a)>0 e f(b)<0 ou o contrário, e a IVT produz o zero.
Unicidade (contradição usando o Teorema do Valor Médio). Suponha que existam dois pontos fixos p<q em [a,b], isto é \varphi(p)=p e \varphi(q)=q. Considere h(x)=\varphi(x)-x. Temos h(p)=h(q)=0. Pelo Teorema do Valor Médio existe c\in(p,q) tal que
h'\text{(c)}=\frac{h(q)-h(p)}{q-p}=0.
Mas h'(x)=\varphi'(x)-1, logo \varphi'\text{(c)}-1=0 implica \varphi'\text{(c)}=1, o que contradiz a hipótese de que existe 0<k<1 tal que |\varphi'(x)|\le k em (a,b). Portanto não podem existir dois pontos fixos distintos; a solução é única.
Resposta
\varphi(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}, e em particular em [1,2] tem \displaystyle \varphi'(x)=\frac{2x}{3(x^{2}+1)^{2/3}} com \left|\varphi'(x)\right|\le \dfrac{4}{3\cdot 2^{2/3}}\approx 0{,}8393<1.\newline
A sequência x_{n+1}=\varphi(x_{n}) com x_{0}=1 ou x_{0}=2 converge (pela propriedade de contração) para o ponto fixo r da função, aproximado numericamente por r\approx 1{,}465571. \newline
Se \varphi:[a,b]\to[a,b] é contínua então \varphi tem pelo menos um ponto fixo em [a,b]; se além disso \varphi' existe em (a,b) e |\varphi'(x)|\le k<1 para todo x\in(a,b), então o ponto fixo é único.