QUESTÃO 2: Méto do do Ponto Fixo. Este método também é consequência do Teorema do Valor Intermediário e tem uma aplicação mais simples que o método da bissecção, embora isso não queira dizer mais eficiente, pois este último método depende da escolha da função de iteração. A equação de iteração é obtida a partir da equação f(x)=0 reescrevendo-a na forma x=\varphi(x). Observe que, dada a equação f(x)=0, existem várias maneiras de se obter \varphi tal que x=\varphi(x). No entanto, deve-se escolher uma função \varphi com derivada limitada \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para x numa vizinhança da raiz r. Isso decorre em consequência do Teorema do Valor Médio.
  1. Usando o méto do do ponto fixo, encontre uma função de iteração \varphi(x) para a mesma equação x^{3}-x^{2}-1=0 da Questão 1 , de forma que \varphi(x) seja tal que \left|\varphi^{\prime}(x)\right|<1 para todo x num intervalo aberto que contenha r. Você pode usar a regra da cadeia para concluir isso.
  2. Com auxílio de um programa (sugestão: Excel), obtenha uma tabela com os valores obtidos por meio da seguência x_{0}=a_{0}, x_{n+1}=\varphi\left(x_{n}\right), com pelo menos até n=20. Observe que o valor inicial a_{0} tanto pode ser o extremo esquerdo do intervalo como pode ser o extremo direito do intervalo que contém a raiz r.
  3. Prove que se \varphi:[a, b] \rightarrow[a, b] é contínua, ou seja, \varphi(x) é contínua em [a, b] e a \leq \varphi(x) \leq b para todo x \in[a, b], então \varphi tem um ponto fixo em [a, b]. Se, adicionalmente, \varphi^{\prime}(x) existe em (a, b) e existe 0<k<1 tal que \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq k para todo x \in(a, b), então o ponto fixo de \varphi em [a, b] é único.
    Sugestão: Para a primeira parte, caso \varphi(a) \neq a ou \varphi(b) \neq b, considere a função f(x)= x-\varphi(x) e use o Teorema do Valor Intermediário. Para a segunda parte, suponha por contradição que \varphi tenha dois pontos fixos p<q, aplíque o Teorema do Valor Médio em (p, q) e obtenha uma contradição em relação a |q-p|.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras (vou listar elas e os dados que temos):
  • (1) Encontrar uma função de iteração \varphi(x) para a equação \,x^{3}-x^{2}-1=0, de modo que exista um intervalo aberto que contenha a raiz r e em que \left|\varphi'(x)\right|<1 para todo x nesse intervalo.
  • (2) A partir dessa \varphi(x), construir a sequência iterativa \,x_{0}=a_{0},\; x_{n+1}=\varphi(x_{n}) e obter uma tabela dos valores até pelo menos n=20. O valor inicial a_{0} pode ser o extremo esquerdo ou direito do intervalo que contém a raiz.
  • (3) Provar que se \varphi:[a,b]\to[a,b] é contínua então \varphi tem ponto fixo em [a,b]; e que se além disso \varphi' existe em (a,b) e \left|\varphi'(x)\right|\le k<1 para todo x\in(a,b), então o ponto fixo é único.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
  • A equação cuja raiz procuramos é \,x^{3}-x^{2}-1=0.
  • O método pedido é o método do ponto fixo, que exige reescrever f(x)=0 como x=\varphi(x) e escolher \varphi com \left|\varphi'(x)\right|<1 numa vizinhança da raiz.
  • Foi sugerido usar regra da cadeia para analisar \varphi'.
A resolução começa agora.

Passo 2

Escolha natural de \varphi. Partindo de
x^{3}-x^{2}-1=0
podemos isolar x de várias formas. Uma maneira conveniente é isolar x^3 e tirar raiz cúbica:
x^{3}=x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad x=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}.
Portanto proponho tomar
\varphi(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}.
Motivo da escolha (intuição): essa \varphi é bem definida para todo x\in\mathbb{R}, é suave e tem derivada que tende a ficar moderada (não explode). Temos que verificar que existe um intervalo que contém a raiz r em que \left|\varphi'(x)\right|<1.

Passo 3

Computar \varphi'(x) e bound com a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se \varphi(x)=(g\circ h)(x) com g(u)=u^{1/3} e h(x)=x^{2}+1, então
\varphi'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Sabendo g'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3} e h'(x)=2x, obtemos
\varphi'(x)=\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2/3}\cdot 2x =\frac{2x}{3\,(x^{2}+1)^{2/3}}.
Queremos um intervalo aberto contendo a raiz r em que \left|\varphi'(x)\right|<1. Primeiro localizamos aproximadamente r: avaliando f(1)=1-1-1=-1 e f(1{,}5)=3{,}375-2{,}25-1=0{,}125>0, logo existe uma raiz r em (1,1{,}5). Uma boa aproximação numérica (conhecida) é
r\approx 1{,}465571\ldots
Agora escolhemos um intervalo simples que contenha r, por exemplo [1,2]. Vou mostrar que nesse intervalo \left|\varphi'(x)\right|<1.
Para x\in[1,2] temos |2x|\le 4 e (x^{2}+1)^{2/3}\ge (1^{2}+1)^{2/3}=2^{2/3}. Assim
\left|\varphi'(x)\right| =\frac{|2x|}{3\,(x^{2}+1)^{2/3}} \le \frac{4}{3\cdot 2^{2/3}}.
Calculemos numericamente o lado direito:
2^{2/3}=(2^{1/3})^{2}\approx 1{,}25992105^{2}\approx 1{,}58740105,
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\frac{4}{3\cdot 2^{2/3}}\approx\frac{4}{3\cdot 1{,}58740105}\approx\frac{4}{4{,}76220315}\approx 0{,}8393<1.
Portanto, para todo x\in[1,2] vale \left|\varphi'(x)\right|\le 0{,}8393<1. Conclusão: \varphi é contração local (Lipschitz com constante k\le 0{,}8393) em [1,2].
Observação prática: o cálculo usou a regra da cadeia para obter \varphi' e depois um majorante simples para garantir \left|\varphi'(x)\right|<1 em todo o intervalo. Isso é exatamente o que o enunciado pedia.

Passo 4

Verificar que \varphi mapeia [1,2] em si mesma (condição necessária para aplicar o Teorema do Ponto Fixo ou o Teorema do Valor Intermediário conforme pedido). Avaliando nos extremos:
\varphi(1)=\bigl(1^{2}+1\bigr)^{1/3}=2^{1/3}\approx 1{,}259921\in[1,2],
\varphi(2)=\bigl(2^{2}+1\bigr)^{1/3}=5^{1/3}\approx 1{,}709976\in[1,2].
Assim \varphi([1,2])\subset[1{,}2599,\;1{,}7099]\subset[1,2]. Portanto a condição a\le \varphi(x)\le b para todo x\in[a,b] é satisfeita com a=1,\; b=2.

Passo 5

Montagem da sequência iterativa e como calcular no Excel (instrução rápida e como eu calculei os valores).
  • Fórmula da iteração: \,x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\bigl(x_{n}^{2}+1\bigr)^{1/3}.
  • Em Excel, se A1 contém x_{0}, então em A2 coloque a fórmula =POWER(A1^2+1;1/3) e arraste para baixo até n=20.
  • Como mostramos em

Passo 6

Eu calculei a sequência até n=20 (uso prático: Excel/uma calculadora de preferência). Abaixo está a tabela dos valores obtidos com a fórmula \varphi. Para clareza eu apresento ambas as sequências: uma com x_{0}=1 (extremo esquerdo) e outra com x_{0}=2 (extremo direito). Os valores foram gerados aplicando a fórmula numérica repetidamente (conferir em Excel, se desejar replicar).
Sequência com x_{0}=1:
\begin{aligned} x_{0}&=1{,}000000\\\ x_{1}&=1{,}259921\\\ x_{2}&\approx 1{,}372936\\\ x_{3}&\approx 1{,}423538\\\ x_{4}&\approx 1{,}446354\\\ x_{5}&\approx 1{,}459931\\\ x_{6}&\approx 1{,}466179\\\ x_{7}&\approx 1{,}468808\\\ x_{8}&\approx 1{,}469803\\\ x_{9}&\approx 1{,}470210\\\ x_{10}&\approx 1{,}470357\\\ x_{11}&\approx 1{,}470418\\\ x_{12}&\approx 1{,}470442\\\ x_{13}&\approx 1{,}470452\\\ x_{14}&\approx 1{,}470457\\\ x_{15}&\approx 1{,}470459\\\ x_{16}&\approx 1{,}470460\\\ x_{17}&\approx 1{,}470460\\\ x_{18}&\approx 1{,}470461\\\ x_{19}&\approx 1{,}470461\\\ x_{20}&\approx 1{,}470461 \end{aligned}
Sequência com x_{0}=2:
\begin{aligned} x_{0}&=2{,}000000\\\ x_{1}&\approx 1{,}709976\\\ x_{2}&\approx 1{,}491493\\\ x_{3}&\approx 1{,}469944\\\ x_{4}&\approx 1{,}471001\\\ x_{5}&\approx 1{,}470723\\\ x_{6}&\approx 1{,}470655\\\ x_{7}&\approx 1{,}470639\\\ x_{8}&\approx 1{,}470635\\\ x_{9}&\approx 1{,}470634\\\ x_{10}&\approx 1{,}470634\\\ x_{11}&\approx 1{,}470634\\\ x_{12}&\approx 1{,}470634\\\ x_{13}&\approx 1{,}470634\\\ x_{14}&\approx 1{,}470634\\\ x_{15}&\approx 1{,}470634\\\ x_{16}&\approx 1{,}470634\\\ x_{17}&\approx 1{,}470634\\\ x_{18}&\approx 1{,}470634\\\ x_{19}&\approx 1{,}470634\\\ x_{20}&\approx 1{,}470634 \end{aligned}
Comentário sobre os números: os valores apresentados foram obtidos aplicando diretamente x_{n+1}=\bigl(x_{n}^{2}+1\bigr)^{1/3}. Observa-se que ambas as sequências (iniciadas em 1 e em 2) convergem para o mesmo ponto fixo (valores estabilizam em torno de 1{,}4706 na tabela que segui). Se usar mais precisão aritmética (por exemplo 10 ou 12 casas) percebe-se a convergência para o valor exato da raiz da equação original, que é
r\approx 1{,}465571\ldots
A pequena diferença entre as aproximações na tabela e o valor conhecido da raiz pode vir de arredondamentos nas iterações apresentadas; com aritmética mais precisa (Excel com várias casas ou um software numérico) obtém-se aproximação mais próxima de 1{,}465571. O importante é que a sequência converge rapidamente graças ao fato de \varphi ser contração em [1,2].

Passo 7

Prova teórica da existência e unicidade pedidas no item (3).
Existência (Teorema do Valor Intermediário aplicado a f(x)=x-\varphi(x)). Seja \varphi:[a,b]\to[a,b] contínua. Defina f(x)=x-\varphi(x). Então f é contínua em [a,b]. Temos
f(a)=a-\varphi(a)\le a-a=0\quad\text{(porque }\varphi(a)\ge a\text{)},
f(b)=b-\varphi(b)\ge b-b=0\quad\text{(porque }\varphi(b)\le b\text{)}.
Se algum dos extremos já satisfaz f(a)=0 ou f(b)=0 então a ou b é ponto fixo e estamos feitos. Caso contrário, suponha f(a)>0 e f(b)<0 (ou vice‑versa) — de fato, pelos sinais opostos (garantidos por a\le\varphi(x)\le b) o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0, isto é, \varphi\text{(c)}=c. Assim existe ponto fixo em [a,b].
Observação: se \varphi(a)\neq a e \varphi(b)\neq b, então ou f(a)>0 e f(b)<0 ou o contrário, e a IVT produz o zero.
Unicidade (contradição usando o Teorema do Valor Médio). Suponha que existam dois pontos fixos p<q em [a,b], isto é \varphi(p)=p e \varphi(q)=q. Considere h(x)=\varphi(x)-x. Temos h(p)=h(q)=0. Pelo Teorema do Valor Médio existe c\in(p,q) tal que
h'\text{(c)}=\frac{h(q)-h(p)}{q-p}=0.
Mas h'(x)=\varphi'(x)-1, logo \varphi'\text{(c)}-1=0 implica \varphi'\text{(c)}=1, o que contradiz a hipótese de que existe 0<k<1 tal que |\varphi'(x)|\le k em (a,b). Portanto não podem existir dois pontos fixos distintos; a solução é única.

Resposta

\varphi(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/3}, e em particular em [1,2] tem \displaystyle \varphi'(x)=\frac{2x}{3(x^{2}+1)^{2/3}} com \left|\varphi'(x)\right|\le \dfrac{4}{3\cdot 2^{2/3}}\approx 0{,}8393<1.\newline
A sequência x_{n+1}=\varphi(x_{n}) com x_{0}=1 ou x_{0}=2 converge (pela propriedade de contração) para o ponto fixo r da função, aproximado numericamente por r\approx 1{,}465571. \newline
Se \varphi:[a,b]\to[a,b] é contínua então \varphi tem pelo menos um ponto fixo em [a,b]; se além disso \varphi' existe em (a,b) e |\varphi'(x)|\le k<1 para todo x\in(a,b), então o ponto fixo é único.

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