Calcule a integral \int_{C}\left(4+e^{\sqrt{x}}\right) d x+\left(\operatorname{sen} y+3 x^{2}\right) d y, em que C é a fronteira da região R limitada pelos quartos de círculos no primeiro quadrante com raios a e b (b>a) e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede (respira, dá pra fazer!).
onde C é a fronteira da região R que fica no primeiro quadrante, limitada pelos quartos de círculo de raios a e b (com b>a) e pelos eixos coordenados.
Informações úteis que o enunciado fornece:
A curva C é o contorno da região R tipo “anel setorial” no primeiro quadrante, isto é, a região entre os dois quartos de círculo centrados na origem com raios a e b, e os dois eixos x e y.
Os campos que aparecem na integral são P(x,y)=4+e^{\sqrt{x}} (coeficiente de dx) e Q(x,y)=\sin y+3x^{2} (coeficiente de dy).
O que devemos entregar: o valor numérico (em termos de a e b) da integral de linha ao longo de C.
Passo 2
Escolhendo a estratégia e justificando (sem terror): é mais prático transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região R usando o teorema de Green. Vou explicar o que é esse teorema e quando podemos usá‑lo.
Teorema de Green (forma útil aqui): se C é a fronteira orientada positivamente (contra‑horário) de uma região simples R do plano e P,Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então
Por que podemos aplicar: P(x,y)=4+e^{\sqrt{x}} e Q(x,y)=\sin y+3x^{2} têm derivadas parciais contínuas em R (a dependência estranha e^{\sqrt{x}} é suave para x\ge0), e C é a fronteira de uma região regular. Assumimos a orientação positiva (contra‑horário), que é a convenção usual quando se diz “fronteira da região R”.
Agora calculamos as derivadas parciais que entram no integrando:
Montando a integral dupla sobre R: pelo teorema de Green
\int_{C}\bigl(4+e^{\sqrt{x}}\bigr)\,dx+\bigl(\sin y+3x^{2}\bigr)\,dy = \iint_{R} 6x \, dA.
Agora vamos calcular \iint_{R}6x\,dA. Como R é um setor anelar no primeiro quadrante (ângulo \pi/2, raio entre a e b), é natural usar coordenadas polares. Vou explicar a mudança:
Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
O elemento de área transforma como dA = r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação polares; pense em pequenos retângulos polares de lados dr e r\,d\theta).
Os limites para r são de a até b. Os limites para \theta são de 0 até \pi/2 (primeiro quadrante).
Substituindo x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta no integrando:
Verificação de sinal e conclusão: usamos a orientação padrão (contra‑horário). Se a curva C estivesse orientada no sentido horário, o resultado teria sinal oposto. Como o enunciado diz “fronteira da região R” sem especificar, a convenção é orientação positiva e a aplicação do teorema de Green foi feita corretamente.
Portanto o valor pedido da integral de linha é 2\bigl(b^{3}-a^{3}\bigr).