(2,0) Encontre os valores máximo e mínimo local de
f(x)=x^{3}-27 x+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
f(x)=x^{3}-27x+3.
O conteúdo a ser usado é cálculo de derivadas: encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e, em seguida, aplicamos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto como máximo ou mínimo local.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-27x+3\bigr)=3x^{2}-27.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-27=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad x=-3,\;x=3.

Passo 3

Calculamos a derivada segunda de f para aplicar o teste de concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-27\bigr)=6x.

Passo 4

Avaliamos f'' em cada ponto crítico:
f''(-3)=6\cdot(-3)=-18<0,
logo f tem um máximo local em x=-3.
f''(3)=6\cdot3=18>0,
logo f tem um mínimo local em x=3.
Agora calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-3)=(-3)^{3}-27\cdot(-3)+3=-27+81+3=57,
f(3)=3^{3}-27\cdot3+3=27-81+3=-51.

Resposta

Máximo local em x=-3 com valor f(-3)=57.
Mínimo local em x=3 com valor f(3)=-51.

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