\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Questio 3 & Considere o espaço métrico ( \mathbb{R}, d ), onde a função distância d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é a métrica zero-zero, isto é, d(x, y)=0 se x=y e d(x, y)=1 se x \neq y. \
\hline Ainda não respondida & Seja a sequência x_{n}=\frac{1}{n}. Com base nisso, assinale a alternativa correta. \
\hline Vale 4,00 ponto(s). & Escolha uma opção: \
\hline Marcar questio & \
\hline & A sequència ( x_{n} ) converge para 0 tanto na métrica usual quanto na métrica discreta.
A sequéncia \left(x_{n}\right) nảo converge em nenhuma das duas métricas.
A sequência \left(x_{n}\right) converge para 0 na métrica usual, mas não converge na métrica discreta.
A sequência \left(x_{n}\right) converge para 0 na métrica discreta, mas não na métrica usual. \
\hline

Passo 1

O enunciado define dois espaços métricos sobre \mathbb{R}\): – a métrica usual \(d_{\rm usu}(x,y)=|x-y|\), e – a métrica discreta \(d_{\rm disc}(x,y)=\begin{cases}0,&x=y,\\\ 1,&x\neq y.\end{cases}
Pede-se estudar a convergência da sequência
x_n = \frac{1}{n}
em cada uma dessas métricas, em particular se converge para 0.

Passo 2

Verificamos a convergência em \bigl(\mathbb{R},d_{\rm usu}\bigr). Dizemos que x_n\to0 se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-0|<\varepsilon sempre que n\ge N. Como
|x_n-0| = \Bigl|\tfrac1n\Bigr|
e \tfrac1n\to0 no sentido usual, escolhemos N>\tfrac1\varepsilon. Então para n\ge N vem \tfrac1n\le\tfrac1N<\varepsilon. Logo x_n\to0 na métrica usual.

Passo 3

Agora no espaço \bigl(\mathbb{R},d_{\rm disc}\bigr) a definição de convergência é: x_n\to L se, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que d_{\rm disc}(x_n,L)<\varepsilon para todo n\ge N. Note que, para qualquer n, x_n=\tfrac1n\neq0, então
d_{\rm disc}(x_n,0)=1.
Se tomarmos \varepsilon=\tfrac12, não há N que force d_{\rm disc}(x_n,0)<\tfrac12, pois 1\not<\tfrac12. Logo x_n não converge para 0 na métrica discreta. Aliás, na métrica discreta apenas sequências eventualmente constantes convergem.

Resposta

A sequência \bigl(x_n\bigr) converge para 0 na métrica usual, mas não converge na métrica discreta.

Exercícios relacionados