Calcule o volume da região situada entre as esferas de raios 1 e 4 (ambas com centro na origem) e acima do cone
em coordenadas esféricas, considerando que
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região que fica entre as esferas de raios 1 e 4 (centro na origem) e acima do cone definido por
, usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos usar a fórmula do elemento de volume em esféricas
e determinar corretamente os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas os limites são
de
a
,
de
a
(acima do cone)
e de
a
.
Logo o volume é
e
Logo o volume é
Passo 3
Calcular primeiro a integral em
:
Passo 4
Em seguida, a integral em
:
Passo 5
Por fim, a integral em
dá
. Combinando: