Calcule o volume da região situada entre as esferas de raios 1 e 4 (ambas com centro na origem) e acima do cone \varphi=\frac{\pi}{3} em coordenadas esféricas, considerando que \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que fica entre as esferas de raios 1 e 4 (centro na origem) e acima do cone definido por \varphi=\pi/3, usando coordenadas esféricas. Para isso, vamos usar a fórmula do elemento de volume em esféricas
dV = \rho^2 \sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta
e determinar corretamente os limites de integração para \rho, \varphi e \theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas os limites são \rho de 1 a 4, \varphi de 0 a \pi/3 (acima do cone)
e \theta de 0 a 2\pi.
Logo o volume é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\!\int_{\rho=1}^{4} \rho^2 \sin\varphi \;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calcular primeiro a integral em \rho:
\int_{1}^{4}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{1}^{4} = \frac{64}{3}-\frac{1}{3} = 21.

Passo 4

Em seguida, a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3} = -\tfrac12 + 1 = \tfrac12.

Passo 5

Por fim, a integral em \theta 2\pi. Combinando:
V = 21 \times \tfrac12 \times 2\pi = 21\pi.

Resposta

V = 21\pi

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